Основное требование, которое предъявляется к системе аксиом, состоит в том, что она должна быть непротиворечивой. Это требование означает следующее: во-первых, система аксиом не должна содержать двух каких-либо взаимно исключающих друг друга предложений (например, таких: «Для любых двух различных точек существует одна и только одна содержащая их прямая» и «Для любых двух различных точек существует по меньшей мере одна содержащая их прямая»); во-вторых, мы должны быть уверены в том, что, как бы далеко ни развивали следствия из нашей системы аксиом, мы никогда не придем к двум противоречащим друг другу предложениям. Убедиться в выполнении первого условия весьма просто, так как система аксиом состоит из конечного числа предложений. Что касается второго условия, то здесь дело обстоит сложнее. Ведь число теорем, которые могут быть выведены из данной системы аксиом, является неограниченным (если, конечно, в системе аксиом содержится достаточное число предложений).
Итак, возникает вопрос: как можно проверить непротиворечивость системы аксиом?
Добавить комментарий