Для того чтобы убедиться в непротиворечивости системы аксиом, надо, как говорят математики, построить модель этой системы. В §10 мы вложили в основные понятия определенное конкретное содержание («точка» — грань пирамиды, «прямая» — ребро пирамиды, «плоскость» — вершина пирамиды) и сумели построить модель I группы аксиом (мы проверили лишь четыре аксиомы I группы, но можно было бы убедиться, что и другие предложения, получаемые из аксиом I группы, также справедливы). Это означает, что рассматриваемые аксиомы логически «правильно» взаимодействуют друг с другом, и, таким образом, следствия из нашей системы аксиом не могут содержать противоречащих друг другу предложений.

Итак, запомним чрезвычайно важный вывод: доказательство непротиворечивости системы аксиом сводится к доказательству существования хотя бы одной модели, в которой реализуется данная аксиоматика.

При этом важно иметь в виду следующее: если при определенном выборе конкретного содержания для основных понятий не удастся построить модель данной системы аксиом, то это еще не означает, что рассматриваемая система аксиом содержит логические противоречия. Может оказаться, что система аксиом допускает построение какой-то другой модели.

Для того чтобы окончательно разобраться в вопросе о методе доказательства непротиворечивости данной системы аксиом, рассмотрим ряд моделей. При этом целесообразно выбрать очень простую и бедную объектами аксиоматику. Итак, наша система аксиом будет состоять из следующих предложений:

А1. Каждой прямой принадлежат по крайней мере две точки.

А2. Существует единственная прямая, проходящая через две различные точки.

А3. Существуют три точки, не принадлежащие одной прямой.

А4. Через точку вне прямой можно провести единственную прямую, параллельную этой прямой (аксиома параллельности).

Пусть модель состоит из четырех объектов S1, S2, S3, S4, которые будем называть точками, и шести объектов s12, s13, s14, s23, s24, s33, которые будем называть прямыми.

Условимся считать, что точка Sk принадлежит прямой sij, если либо k = i, либо k = j. Например, точка S1 принадлежит  прямым s12, s13, s14.

Вопрос. Выполняются ли в нашей модели указанные аксиомы? Подумайте, а затем см. указание 29.

 

Добавить комментарий

Plain text

  • HTML-теги не обрабатываются и показываются как обычный текст
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.