§27

«Начала» Евклида были составлены по схеме, которую рекомендовал величайший древнегреческий философ и ученый Аристотель (384 — 322 гг. до н. э.): сначала формулируются определения и аксиомы, затем приводятся теоремы и их доказательства. Именно этой схеме и следовал Евклид. Почти каждая из частей (книг) «Начал» начинается с определений всех терминов, которые в ней встречаются. Правда, как уже отмечалось, многие из этих определений были настолько расплывчатыми, что трудно было ими воспользоваться. Первая книга начинается с перечисления аксиом и постулатов. (Вообще говоря, аксиома и постулат — равнозначные понятия. Но у Евклида под постулатами понимаются утверждения о возможности определенных геометрических построений.) Далее следуют формулировки теорем с их доказательствами и многочисленными ссылками на постулаты, аксиомы и предыдущие предложения. При этом особенность стиля Евклида состояла в том, что теоремы не связывались между собой какими-либо комментариями н отступлениями. «Начала» — это величественное здание чистой геометрии.

Несмотря на то что первые попытки обосновать геометрию предпринимались задолго до Евклида (одна из таких попыток принадлежала древнегреческому геометру Гиппократу Хиосскому, V в. до н. э.), все они поблекли и были забыты после появления гениального творения Евклида. В течение двух тысячелетий для математиков «Начала» были образцом для подражания, а для прочих — единственным учебником, по которому учились как взрослые, так и дети. «Начала» Евклида в качестве учебника царили вплоть до XVIII в., а в некоторых странах и дольше. Первое печатное издание «Начал» на латинском языке появилось в 1482 г. (напомним читателю, что начало книгопечатания в Европе относится к 40-м гг. XV вв.). Первый перевод «Начал» на русский язык появился в 1739 г.

«Начала» Евклида состоят из 13 книг. Из них I — VI книги посвящены планиметрии, VII — IX — арифметике, X — несоизмеримым величинам1, XI — XIII — стереометрии.

В первой книге «Начал» приводятся 23 определения, а затем 5 постулатов и 9 аксиом.

Математиков особенно интересовал последний, пятый постулат.

Пятый постулат читается так:

Если две прямые, пересекаясь с третьей прямой, образуют с ней внутренние односторонние углы α и  β, сумма которых меньше 2d (т. е. двух прямых углов), то они пересекаются с той стороны, с которой эта сумма меньше 2d.

Если α + β < 2d, то a и b пересекаются (рис. 4). Чем же объяснить, что в течение многих веков (вплоть до XIX в.) математики многих стран испытывали необыкновенную тягу к евклидову постулату, а некоторые из них сохранили интерес к проблеме постулата в течение всей       своей жизни?

Прежде всего отметим, что в системе Евклида надобность в использовании пятого постулата появляется довольно поздно. Большая часть «Начал» вообще не зависит от пятого постулата. Таким образом, великое творение Евклида условно можно разделить на две части. К первой части относятся предложения, в доказательствах которых совершенно не используется пятый постулат. Затем, наконец, появляется тяжеловесный постулат. Все последующие предложения опираются на него. Таким образом, создается впечатление, что «Начала» вообще можно построить без использования злополучного постулата. А отсюда остается один шаг до соблазна, т. е. до попытки его доказать.

В настоящее время под аксиомами понимаются, как известно, предложения, которые принимаются без доказательства, потому что для их доказательства нет исходного материала. Во времена же Евклида, а затем и до конца XIX в. считали, что аксиомы — это предложения, не требующие доказательства в силу их очевидности. Что же касается пятого постулата, то легко видеть, что утверждение, содержащееся в нем, далеко не столь очевидно. Отсюда у математиков появилось стремление во что бы то ни стало доказать пятый постулат. Так возникла знаменитая проблема пятого постулата.

Постарайтесь запомнить формулировку пятого постулата.

Запишите в тетрадях:

1) формулировку аксиомы из §23 (это предложение называется аксиомой параллельности или предложением Плейфера2 — по имени английского математика XVIII в.);

2) формулировку пятого постулата Евклида.

• 1. Несоизмеримыми величинами называются величины, не имеющие общей меры. Так, например, для отрезков длиной 3 и  √2 см не существует общей меры, т. е. отрезка, который укладывался бы в обоих данных отрезках целое число раз.
• 2. Через точку вне прямой (в плоскости) можно провести единственную прямую, не пересекающую данную прямую.