Итак, нам нужно доказать две теоремы.

1.

Теорема 1.

Дано:    Σ + предложение Плейфера (Σ означает совокупность всех предложений геометрии Евклида, кроме аксиомы параллельности).

Доказать

пятый постулат Евклида.

2.

Пусть даны прямая даны прямая a и точка А, не лежащая на этой прямой (рис. 5).

Можно ли построить прямую, проходящую через точку А и не пересекающую прямую a ?

 

3.

Как это сделать?

Для этого надо из точки А опустить перпендикуляр АВ на прямую а и из точки А восставить перпендикуляр к прямой АВ.

4.

Выполните в тетради рисунок 6.

Можно ли построить еще одну прямую, проходящую через точку А и не пересекающую прямую a?

Ответы.

А. Да, можно

Б. Нет, нельзя

 

В. Не знаю

 

5.

Проведем через точку А прямую с под острым углом α к прямой АВ (рис. 7). Выполните рисунок.

Прямая с пересекает прямую a, так как

согласно предложению Плейфера, которое нами включено в систему аксиом, через точку А проходит единственная прямая, не пересекающая прямую а (прямая b).

6.

С какой стороны от прямой АВ прямая АС пересекает прямую a?

Прямая c пересекает прямую a с той стороны от прямой АВ, с которой  α + β < 2d.

 

7.

Тем самым мы доказали пятый постулат Евклида.

8.

Теорема 2.

Дано: Σ + пятый постулат Евклида.

Доказать

предложение Плейфера.

Построим прямую b, проходящую через точку А и не пересекающую прямую a (рис. 8). (Это построение нами уже выполнялось при доказательстве теоремы 1.)

9.

Итак, прямая b не пересекает прямую a. Нужно доказать, что

эта прямая единственная, т. е. любая другая прямая, отличная от прямой b  и проходящая через точку А, пересекает прямую a .

10.

Проведем через точку А произвольную прямую c  под углом α<d к прямой АВ (рис. 9).

11.

Из сделанного построения следует, что α + β

12.

Значит, прямая c пересекает прямую a. Почему?

Это следует из пятого постулата Евклида, который мы приняли в качестве аксиомы.

13.

Таким образом, любая прямая, отличная от прямой b , пересекает прямую a. Следовательно, существует единственная прямая b, не пересекающая прямую a .

Тем самым предложение Плейфера доказано.

Table of Contents 

Добавить комментарий

Plain text

  • HTML-теги не обрабатываются и показываются как обычный текст
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.