В предыдущем параграфе мы установили эквивалентность пятого постулата Евклида и предложения Плейфера. Можно сформулировать и ряд других предложений, эквивалентных пятому постулату Евклида. Среди них можно указать, в частности, и такое: «Сумма углов всякого треугольника равна двум прямым углам». Докажем эквивалентность пятого постулата и предложения о сумме углов треугольника. В дальнейшем этот факт неоднократно будет использоваться.

Теорема 1. Если сумма углов произвольного треугольника равна 2d, то имеет место пятый постулат Евклида.

1.

Рассмотрим рисунок 10. Прямая а перпендикулярна прямой АВ.

 

 

Нужно доказать, что прямая b, образующая острый угол β с прямой АВ,

пересекает прямую а с той стороны, с которой сумма углов α и β меньше 2d.

2.

Отложим на прямой a n отрезков: ВВ1 = АВ, В1В2 = АВ1, В2В3 = АВ2, …, Вn-1Вn = АВn-1.

3.

Рассмотрим треугольники АВВ1, АВ1В2, ..., АВn-1Вn. По условию сумма углов каждого из них равна

4.

Чему равны величины острых углов треугольника АВВ1?

45° или π/4, так как треугольник АВВ1 прямоугольный и равнобедренный.

5.

Чему равны величины острых углов треугольника АВ1В2?

6.

Чему равны величины острых углов треугольника АВ2В3? 

7.

Рассуждая дальше таким же образом, получим в итоге, что величина угла АВnВ равна

8.

Чему равна величина угла ВАВn?

9.

Подумайте теперь, как завершить доказательство.

10.

Теорема 2.

Если имеет место пятый постулат Евклида, то сумма углов треугольника равна 2d.

Посмотрите доказательство этой теоремы в учебнике геометрии для VI класса. В процессе доказательства теоремы используется не пятый постулат Евклида, а его эквивалент — аксиома параллельности.

Table of Contents 

Добавить комментарий

Plain text

  • HTML-теги не обрабатываются и показываются как обычный текст
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.