§41

Интересно отметить следующее: можно строго доказать, что если пятый постулат Евклида (или эквивалентное ему предложение Плейфера) заменить аксиомой Лобачевского, то тогда через точку А будет проходить бесконечное (!) множество прямых, не пересекающих прямую b.

В процессе доказательства этого предложения нам придется использовать так называемую аксиому Паша(Мориц Паш (1843 — 1930) — немецкий математик). Эта аксиома читается так: «Пусть дан треугольник АBС; если прямая a , лежащая в плоскости треугольника, пересекает отрезок АВ, то она пересекает также либо отрезок АС, либо отрезок ВС, при этом прямая a не содержит ни одной из точек А, В, С» (рис. 20).

Аксиома Паша входит во II группу аксиом системы Гильберта. Внимательно прочитайте еще раз аксиому Паша и запишите ее формулировку в тетради.

Приступаем к доказательству следующей теоремы.

Если принять аксиому Лобачевского, то отсюда следует, что через точку, лежащую вне прямой, в плоскости, определяемой ими, можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих данную прямую.

1.

Итак, по аксиоме Лобачевского прямыеa₁ и a₂

Показать скрытый текст

не пересекают прямую b (рис. 21).

 

 

 

2.

На прямой a₂ возьмем какую-нибудь точку B₂ и соединим ее с произвольной точкой B прямой b (рис. 22). Отрезок BB₂ пересечет прямую a₁ в некоторой точке B₁.

Возьмем произвольную точку М на отрезке BB₁. Докажем, что прямая АМ не пересекает прямую b.

3.

 Допустим, что прямая АМ пересекает прямую b в некоторой точке С (рис. 23).

4.

Попробуем теперь обнаружить возникшее противоречие. Для этого надо рассмотреть ∆МВС и прямую a₁.

5.

Прямая a₁, пересекает сторону МВ треугольника МВС; значит, прямая a₁ должна пересечь

Сторону МС указанного треугольника прямая a₁ пересечь не может, так как

6.

Значит, прямая a₁ должна пересечь сторону ВС. Почему это невозможно?

Таким образом, доказали, что все прямые, лежащие в заштрихованной области и проходящие через точку А (рис. 24), не пересекают прямую b.