Квантовомеханические векторы и операторы в гильбертовом пространстве. III

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

Назад   Вперёд

9. Собственные значения и собственные векторы линейных операторов.

Представляет особый интерес случаи, когда ненулевой вектор |x› в результате действия линейного оператора  просто умножается на какое-то число:

|r› = λ|r›.

Ненулевые векторы, удовлетворяющие такому условию, называются собственными векторами, а соответствующие им числа называются собственными значениями оператора.

Пусть в некотором ортонормированном базисе матричные элементы оператора  будут Q_ij, а компоненты разложения вектора |r› по этому же базису будут x_j.

Тогда записывая |r› = λ|r›  в матричной форме получим:

Отсюда имеем систему двух уравнений:

(Q₁₁ – λ) x₁ + Q₁₂ x₂ = 0,

 Q₂₁ x₁ + (Q₂₂ – λ) x₂ = 0.

Домножим первое уравнение на Q₂₁, а второе на (Q₁₁ – λ), а затем вычтем одно уравнение из другого:

[Q₂₁ Q₁₂  – (Q₁₁ – λ) (Q₂₂ – λ)] x₂ = 0.

Очевидное решение  x₂ = 0 и, следовательно, x₁ = 0 нас не интересует. Есть ещё одна возможность, удовлетворить последнему равенству: необходимо потребовать, чтобы выражение в квадратных скобках было равно нулю, или, что тоже самое, определитель системы уравнений был бы равен нулю:

Мы имеем квадратное уравнение относительно λ. Такое уравнение называется характеристическим или вековым. Решив его, получим два собственных значения λ₁ и λ₂. 

Из равенства

[Q₂₁ Q₁₂  – (Q₁₁ – λ) (Q₂₂ – λ)] = 0.

имеем, при условии подстановки туда λ₁ или λ₂:

И тогда  Q₁₁ – λ = γQ₂₁  и  Q₁₂ = γ(Q₂₂ – λ).

Подставив эти соотношения в первое уравнение, убедимся, что теперь первое уравнение:

γQ₂₁ x₁ + γ(Q₂₂ – λ) x₂ = 0,

отличается от второго лишь некоторым множителем γ.

Т.е. после подстановки в систему λ₁ или λ₂ оба уравнения системы фактически совпадают. Поэтому произвольно задавая x₂, можно из любого уравнения вычислить x₁, и тем самым определить коэффициенты разложения собственного вектора по выбранным базисным векторам.   

Получается, что собственный вектор определён с точностью до постоянного множителя, в качестве которого выступает конкретное значение x₂.

Впрочем, это очевидно сразу из исходного уравнения: если некоторый вектор |r› является собственным вектором, т.е. удовлетворяет уравнению |r› = λ|r›, то вектор α|r› тоже удовлетворяет этому уравнению, поскольку оператор   линейный.

Так ищутся собственные значения и собственные векторы в самом простом случае двумерного гильбертова пространства. Аналогично решаются более сложные задачи, но там добавляются некоторые особенности (например, вырождение, т.е. совпадение нескольких собственных значений), изучаемые в систематических курсах линейной алгебры.

10. Эрмитовы операторы в гильбертовом пространстве.

Проектор, составленный из любого вектора ‹b|, является эрмитовым:

(|b›‹b|)^† = ‹b|^†|b›^† = |b›‹b|.

Поэтому любой оператор, представляющий собой линейную комбинацию проекторов на всевозможные базисные векторы |r₁› и |r₂› некоторого базиса гильбертова пространства,

 = λ₁|r₁›‹r₁| + λ₂|r₂›‹r₂| =

,

является эрмитовым при условии, что λ₁ и λ₂ действительные числа.

В самом деле,

^† = (λ₁|r₁›‹r₁|)^† + (λ₂|r₂›‹r₂|)^† = λ₁^†(|r₁›‹r₁|)^† + λ₂^†(|r₂›‹r₂|)^† = λ₁|r₁›‹r₁| + λ₂|r₂›‹r₂| = .

Теперь допустим, что некоторый линейный оператор   эрмитов: ^† =  . Докажем, что его собственные значения действительные, а собственные векторы ортогональны.

Сопрягая равенство

 ‹r_i||r_i› = ‹r_i|λ_i|r_i› = λ_i ‹r_i|r_i›,

получаем:

(‹r_i||r_i›)^† = (‹r_i|^†|r_i›) = (‹r_i||r_i›) = (λ_i‹r_i|r_i›)^† = λ_i^†(‹r_i|r_i›)^† = λ_i^†‹r_i|r_i›,

т.е.

(‹r_i||r_i›) = λ_i^†‹r_i|r_i›.

Сравнивая это равенство с исходным, убеждаемся, что λ_i^† = λ_i* = λ_i. Следовательно, λ_i — действительные числа.

Теперь рассмотрим два равенства:

‹r_i||r_j› = λ_j‹r_i|r_j›,  

‹r_i||r_j› = ‹r_i|^†|r_j› = (‹r_i|^†)|r_j› = (|r_i›)^†|r_j› = (λ_i|r_i›)^†|r_j› =  λ_i^†‹r_i|r_j› =  λ_i‹r_i|r_j›.

Вычитая первое равенство из второго, получаем:

0 = (λ_i – λ_j)‹r_i|r_j›.

Отсюда ‹r_i|r_j› = 0, т.е. собственные векторы эрмитового оператора ортогональны, по крайней мере, в том случае, когда соответствующие собственные значения не равны: λ_i ≠ λ_j.

Назад    Вперёд

©   А.А.Дмитриевский.