После Римана…

Риман остался навечно в итальянской земле.

И Италия стала страной, откуда идеи неэвклидовой геометрии начали триумфальное шествие по миру.

Как ни странно, это не более чем совпадение. А стран­но потому, что тот, с чьим именем связан новый этап в геометрии, Эудженио Бельтрами, был дружен с Риманом.

Талантливый математик, занимавший профессорские кафедры в университетах многих итальянских городов — Болоньи, Пизы, Павии, Рима — Бельтрами в шестиде­сятых годах всерьез увлекся как раз дифференциальной геометрией, геометрией в бесконечно малом. Среди дру­гих задач он исследовал поведение в бесконечно малом квадратичной формы для элемента длины. То есть, в 1864 году, когда Риман был в Италии и общался с Бельтрами, итальянского математика глубоко занимал тот же круг проблем, которому за десять лет до того было отдано внимание самого Римана. Но неэвклидовой геометрии в своих разговорах они не касались — быть может, для Римана это стало уже далеким прошлым. Во всяком случае, когда Бельтрами познакомился с «пробной лекцией», ее содержание оказалось для него полной неожиданностью.

...1868 год был необыкновенно урожайным. В печа­ти одна за другой появились три статьи. Сначала Бель­трами опубликовал свой мемуар «Опыты интерпретации неэвклидовой геометрии». Потом Дедекинд напечатал «пробную лекцию» Римана «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Вслед за тем вышла работа Гельмгольца с почти таким же названием: «О фактах, лежащих в основании геометрии». Завершением этого цикла стал другой мемуар Бельтрами, написанный го­дом позже как отклик на пробную лекцию — «Основы теории пространств постоянной кривизны».

Этот взрыв активности не был случайным, он подготовлялся исподволь. Но как обычно при бурном процес­се, сыграл свою роль и катализатор. Таким катализатором стало обнародование переписки Гаусса с Шу­махером.

После смерти Гаусса обет молчания, который он неизменно налагал на своих друзей, сохранять уже не было нужды. И с 1860 года начинается публикация его многолетней переписки. В течение нескольких лет из печати выходят пять томов. Среди огромного эпистолярного наследия Гаусса были и знакомьте нам письма — о неэвклидовой геометрии, о Лобачевском, о Яноше Бойяи, — те размышления, догадки и эмоции, которые бо­лее полувека наполняли собой жизнь Гаусса.

Неизвестно, читал ли эти письма Риман. По-видимо­му, волнение, которое они возбудили, никак его не кос­нулось. Как это вышло, понять трудно. Потому что ма­тематический мир был крайне взбудоражен. Первым письма Гаусса «открыл», во всяком случае публично, французский математик Гуэль. В 1866 году он издал на своем родном языке «Геометрические исследования по теории параллельных линий» Лобачевского, сопроводив их отрывками из переписки Гаусса и Шумахера.

Благодаря Гуэлю, писавшиеся словно ни для кого сочинения Лобачевского сразу обрели аудиторию. Их стали читать, изучать, осмысливать. Очень заинтересо­вался новой геометрией и Бельтрами: «Из писем ви­дим, — отмечал он, — что Гаусс был предан этим идеям и можем убедиться в его полном согласии с учением Ло­бачевского».

Не надо, однако, думать, что прозрение наступило мгновенно. Наоборот. Образы геометрии Лобачевского настолько противоречили привычным представлениям, что новые идеи вызывали активное сопротивление даже у математиков, наиболее восприимчивых к новому. Они ведь тоже люди, и им тоже трудно привыкнуть к тому, что прямая — не прямая, и плоскость имеет кривизну, и сумма углов треугольника может уменьшиться до ну­ля; трудно, даже если «несуразности» эти освящены авторитетом великого Гаусса.

Вот тут-то и сказал свое слово Бельтрами. Среди проблем, связанных с геометрией поверхнос­тей, Бельтрами увлекала и картография, то есть спосо­бы изображения поверхности Земли на плоском листе бумаги. Занятия картографией привели Бельтрами к скрупулезному исследованию поверхностей постоянной кривизны, и прежде всего — крайне мало изученных по­верхностей постоянной отрицательной кривизны. Эти последние были настолько вне поля зрения математи­ков, что наиболее типичная из них, псевдосфера, до Бельтрами вообще не была известна. Точнее, о «мнимой сфере» почти за сто лет до Бельтрами говорил матема­тик и философ Ламберт — один из тех, в ком тоже за­родились идеи неэвклидовой геометрии. Но о работе Ламберта, видимо, забыли.

Теперь Бельтрами заново открыл псевдосферу, он же дал название «псевдосферические» всему классу по­верхностей постоянной отрицательной кривизны. Но главное, он сделал то чрезвычайно важное для неэвкли­довой геометрии открытие, о котором мы уже говорили. Он обнаружил, что на псевдосферических поверхностях осуществляется в натуральном, можно сказать, виде геометрия Лобачевского. Другими словами, каждая псевдосферическая поверхность есть какая-то часть плоскости Лобачевского. И все законы геометрии Лобачевского на ней неукоснительно выполняются.

Открытие это не было случайным. Бельтрами его активно искал и сознательно шел к нему. «Мы старались дать себе отчет о результатах, к которым приводит уче­ние Лобачевского, — писал он, — и затем мы попытались отыскать реальное основание для этого учения, прежде всего, чтобы признать этим самым необходимость нового порядка вещей и идей».

Значит, Бельтрами не только сознательно шел к свое­му открытию, но и ясно понимал, во имя чего оно де­лается, видел конечную цель его — доказать математи­кам возможность геометрии Лобачевского, «необходи­мость нового порядка вещей и идей». Цель была достигнута.

Появление мемуара Бельтрами совершило переворот в умах. Всех потрясло, что в самую реальнейшую ре­альность неожиданно воплотились совершенно фантасти­ческие, непредставимые, казалось, образы, созданные чистой логикой. Выходило, что можно не только уви­деть, но даже пощупать пальцами кусок плоскости Лобачевского, провести карандашом по линии, которая есть доподлинная прямая этой плоскости.

Возможность различных геометрий Риман устано­вил в общей, абстрактной форме. Бельтрами нашел конкретную модель для одной, первой из новых геомет­рий. И то была не полуанекдотическая комбинация «сто­ла», «стула» и «пивной кружки» Гильберта. То была геометрия, положившая конец многовековому «тираническому» господству Эвклида. Геометрия более общая, включавшая в себя эвклидову геометрию как частный, предельный случай.

«Торжество новых понятий не может пошатнуть ис­тин, уже приобретенных, — писал Бельтрами, — оно мо­жет только изменить их положение в науке. Глубокая критика принципов не может никогда повредить проч­ности научного здания».

Противникам Лобачевского пришлось замолчать, сомневающимся — обрести веру. «Воображаемая геометрия» стала реальностью. Однако это было гораздо больше, чем только моральная победа. Помните, всю жизнь Лобачевского мучило сознание незаконченности своей работы. Он был убежден в справедливости, в логической непротиворечивости созданной им геометрии. Как бы далеко ни развивал он ее — а мы знаем, что он последовательно расширял области ее приложения — нигде и ни разу не пришел он к противоречию.

Но этого мало для такой сверхстрогой науки, как математика — значит, мало и для самого Лобачевского. Он не мог удовлетвориться тем фактом, что гиперболиче­ская геометрия ни при каких построениях и расчетах не приводит к противоречию, к абсурду. В математике, в отличие от римского права, действует принцип пре­зумпции виновности: тут требовалось доказать, что гео­метрия Лобачевского не может привести к абсурду. Бельтрами это доказал, он выступил блистательным адвокатом новой геометрии и выиграл дело.

Он выиграл дело в тот самый момент, когда показал: смотрите, на этих, псевдосферических, поверхностях осуществляется геометрия Лобачевского.

Реально существующие объекты — вот искомое доказательство. То, что существует, не может быть лож­но, не может привести к асбсурду, не может заключать в себе противоречия. Так просто? Да, так просто, когда уже найдено. Так неимоверно сложно, пока неизвестно, на каких подступах искать. Раз постулаты Лобачевского правильны для каких-то существующих в нашем про­странстве объектов, в частности — для псевдосфериче­ских поверхностей, никакие выводы и следствия из них никогда не приведут к противоречию. Чтобы вывод этот стал для нас убедительным, давайте нарисуем, хотя бы мысленно, псевдосферическую поверхность — ну, например, псевдосферу, и расскажем себе, что происходит с ней и на ней.

Прежде всего — что происходит с ней? Ничего особенного. Она, как и мы с вами, существует в эвкли­довом пространстве. Поэтому для нее, как и для нас, действительны законы эвклидовой геометрии. И если, опираясь на эти законы, мы напишем уравнение данной псевдосферы, то, коль скоро эвклидова геометрия вер­на, не содержит в себе противоречий, уравнение будет точно описывать свойства этой псевдосферы.

Мы знаем, что в земных условиях, для земных масштабов законы эвклидовой геометрии безусловно верны. Что система Эвклида внутренне правильна, непротиво­речива. Что она вполне логично строится на фундамен­те своих аксиом. Что ни одно из ее положений, ни одна из ее теорем не могут привести к абсурду. Многовеко­вой опыт человечества лежит в основе такой увереннос­ти и подтверждает ее. Итак, опираясь на законы эвкли­довой геометрии, мы получили точное, достоверное опи­сание псевдосферы — одной из жительниц эвклидова мира.

Теперь посмотрим, что происходит на ней, на псевдосфере. На ней, как обнаружил Бельтрами, «жи­вет и дышит» кусок плоскости Лобачевского, все фигуры которой, начиная с прямых и треугольников, следуют своим законам — законам гиперболической геометрии, резко отличным от эвклидовых.

Но ведь сам этот кусок плоскости Лобачевского жи­вет в пространстве Эвклида, он совпадает всеми своими точками с эвклидовой псевдосферой. Выходит, он ведет себя как слуга двух господ, приноравливаясь к требо­ваниям обоих.

На сфере кратчайшее расстояние между двумя точ­ками — аналог прямой — есть дуга большого круга. Но если мы взглянем на эту дугу из своего трехмерного пространства, то увидим, что она вовсе не прямая, а кривая, и чтобы получить «истинное» кратчайшее рас­стояние между двумя точками — концами дуги, надо проткнуть сферу и соединить эти две точки «истинной» эвклидовой прямой.

Так и здесь. Пока псевдосфера «помнит», что она есть часть плоскости Лобачевского, ее прямые — крат­чайшие расстояния между точками ее поверхности — есть прямые плоскости Лобачевского: по своему виду, по своим свойствам, по своим уравнениям, наконец.

Но тут псевдосфера получает грозное напоминание:

— Не забывайся, ты всего-навсего поверхность в эвклидовом пространстве, и веди себя соответственно.

Тогда, взглянув на себя «со стороны», псевдосфера видит, что ее прямые на самом деле кривые, а настоя­щих прямых, эвклидовых прямых, на ней нет и быть не может, и чтобы две ее точки соединить настоящей прямой, придется проткнуть ее поверхность.

Вот что значит служить двум божествам одновре­менно!

Зато такое двойственное, двусмысленное положение псевдосферы хорошо послужило Бельтрами — дало ему возможность доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского. Действительно, если на одной и той же поверхности выполняются и законы геометрии Эвклида, и законы геометрии Лобачевского, то с полной достоверностью можно заключить, что коль скоро не содержит в себе никаких внутренних противоречий геометрия Эвклида, то не содержит в себе никаких внутренних противоречий и геометрия Лобачевского.

Лишь только геометрия Лобачевского нашла свое воплощение на реальных поверхностях эвклидова мира, она автоматически оказалась под защитой царящих в нем законов. То есть и это, обязательное для науки свой­ство — не содержать в себе внутренних противоречий — распространилось на неэвклидову геометрию тоже. Получается интересная, даже парадоксальная, на первый взгляд, ситуация: геометрия Лобачевского, родившаяся из отрицания одного из краеугольных камней эвклидо­вой геометрии, самоутвердилась, призвав на помощь свою в некотором роде, «соперницу».

А произошло это самоутверждение в тот момент, ког­да Бельтрами, начертив на псевдосфере линии и фигу­ры, сказал: «Смотри!». У геометров древности одно это слово, стоящее под чертежом, считалось достаточным доказательством. Конечно, Бельтрами не ограничился только словами или только чертежом, он привел убедительные расчеты. Но, вероятно, самым впечатляющим для математиков было именно то, что встало вдруг пе­ред их глазами.

Так возможность интерпретации — кстати, это слово тоже ввел в математику Бельтрами — неэвклидовой гео­метрии образами из геометрии Эвклида и стала дока­зательством ее правильности, ее непротиворечивости. А есть ли абсолютное доказательство? Абсолютное до­казательство, что эвклидова геометрия непротиворечива сама по себе? Или что сама по себе непротиворечива геометрия Лобачевского? Или геометрия Римана? Ока­зывается, такая задача тоже выполнима. Она и была выполнена в самом конце девятнадцатого века Давидом Гильбертом, профессором Геттингенского (опять!) уни­верситета.

Если путь выбран верный, то каждый новый шаг что-то прибавляет. Бельтрами выбрал верный путь. По­этому велики были возможности идти дальше, вперед, и математики их не упустили.

Вероятно, хорошо понимая все, так сказать, идейное значение своей интерпретации, Бельтрами не строил се­бе иллюзий. Он знал ограниченность ее применения и ни на минуту не обольщался тем, что сумел будто бы воплотить на своих моделях всю геометрию Лобачев­ского целиком. Он писал: «Думаем, что это удалось для планиметрической части этого учения, но нам кажется невозможным сделать то же для остальной части».

Вскоре математики нашли, что не только трехмерное пространство Лобачевского, но и двумерная «планиметрическая часть», то есть плоскость Лобачевского — вся целиком, простирающаяся в бесконечность, не может «уместиться» ни на одной реально существующей по­верхности. Причина в том, что любая из псевдосферических поверхностей имеет некоторые особенности — точки и линии перелома, нарушения однородности, тогда как в плоскости Лобачевского таких особенностей нет; она непрерывна, бесконечна и одинакова во всех своих частях.

Наглядность интерпретации Бельтрами оказалась связанной с определенными ограничениями. Но теперь математики уже знали, «где копать». Были предложены другие интерпретации, и не только плоскости, но и про­странства Лобачевского, в том числе и самим Бельтра­ми. Эти новые модели, хотя сами они имели конечные размеры, воплощали в себе все бесконечно протяжен­ные образы геометрии Лобачевского. Такое достигалось ценой отказа от наглядности, от соответствия образов. Потому что прямая Лобачевского у Бельтрами тоже оставалась прямой — прямой псевдосферы. А в точных и исчерпывающих интерпретациях прямая могла быть, грубо говоря, и «столом», «стулом», и «пивной круж­кой». А на деле, в интерпретации Клейна, напри­мер, прямыми плоскости Лобачевского служили хорды круга.

Автором совершенных моделей пространства Лобачевского помимо Клейна был и Пуанкаре, оба они круп­нейшие ученые, под чьим влиянием развивалась мате­матика на рубеже прошлого и нынешнего столетий.

Итак, 1868 год по справедливости можно считать переломным для неэвклидовой геометрии — с него началось массовое признание новых идей, появился активный ин­терес к ним. Отныне неэвклидова геометрия становится одной из магистральных дорог в математике. Все боль­ше ученых увлекаются ею. Растет число работ, углуб­ляется их содержание.

Развитие идей и математического аппарата неэвкли­довой геометрии до такой степени усложнило эту нау­ку, что в нынешнюю ее жизнь непосвященный едва ли сможет проникнуть. Да и вряд ли он отважится на такой безрассудный шаг.

Нет пророка в своем отечестве. Казалось бы, ни к кому слова эти не подходят так абсолютно, как к Лоба­чевскому. Верно, не раз повторял он их себе.

Но вот прошло немного лет, и Россия заговорила о Лобачевском. В России, и прежде всего в Казанском университете все отчетливее понимают, насколько неле­по положение, когда работы Лобачевского не только мало известны в своей стране, но и попросту недоступ­ны, погребены в ничтожных по тиражу казанских изда­ниях, когда знакомство с идеями великого геометра идет окольным путем, через Запад. Все громче раздаются голоса, что пора исправить ошибку, покончить с многолетними заблуждениями, искупить вину перед своим гени­альным соотечественником. Медленно дело делается... Однако в 1883 году издание сочинений Лобачевского, задуманное за пятнадцать лет до этого, стало, наконец, выходить в свет.

Приближалось столетие со дня рождения Лобачев­ского. Не только Россия — весь мир готовился отметить дату.

Создается «Комитет для образования капитала име­ни Н. И. Лобачевского»: «Первым и главным назначе­нием капитала будет учреждение достойной значения великого мыслителя и математика премии имени Лоба­чевского, носящей международный характер. Такая пре­мия даст молодым ученым, посвятившим свои силы лю­бимой Лобачевским науке, поддержку и одобрение и вместе с тем явится выражением единства всех культур­ных народов в их стремлении к научной истине».

В Почетном комитете участвуют крупнейшие мате­матики мира — Бельтрами, Гельмгольц, Пуанкаре, Дар­бу, Кэли, Клейн, Софус Ли и крупнейшие ученые Рос­сии — Ляпунов, Менделеев, Столетов, Зинин — всего сто десять человек.

Быть может, самая главная и самая привлекатель­ная черта этого праздника была даже не в широте его, не в особой торжественности и приподнятости, не в атмосфере преклонения перед великим ученым. Пора­жает удивительное, чуть ли не современное понимание и самой неэвклидовой геометрии, и ее общенаучного, философского значения.

Помните, в речи «О важнейших предметах воспита­ния» Лобачевский сказал:

— Мы живем уже в такие времена, когда едва тень древней схоластики бродит по университету.

Не тень древней схоластики, а могучий дух Лобачев­ского присутствовал в эти дни в актовом зале Казан­ского университета.

— Задача, которую решил Лобачевский, была за­дача, которую ставили на очередь и математика и фи­лософия его времени, — сказал профессор Васильев. — Но для того чтобы усмотреть эту задачу, была нужна гениальность Гаусса и Лобачевского; нужны были на­стойчивость и трудолюбие последнего...

Пусть этот облик гениального и мощного мыслите­ля, пролившего новый свет и внесшего «новые начала» в одну из важнейших отраслей человеческого знания, вещает и всей России, что «на поприще ума нельзя нам отступать»!

«Международная премия имени Лобачевского» стала почетной наградой для геометров, завоевать ее счита­лось большой честью.

В 1903 году премию получил известный немецкий математик Давид Гильберт. В 1899 году он опублико­вал большую работу «Основания геометрии», а затем и другие сочинения, посвященные основаниям геометрии, иными словами — аксиоматическому построению геомет­рических систем. В аксиоматике, развитой Гильбертом, заключалось и доказательство логической непротиворе­чивости разных геометрий, в частности — геометрий Эвклида, Лобачевского и Римана.

Для такого доказательства необходимо найти пра­вильную и полную систему аксиом, на фундаменте кото­рых и будет выстроена вся данная геометрия. Оказа­лось, что аксиомы, составляющие такую полную систе­му, должны удовлетворять трем условиям. Они обязаны быть совместны — то есть не противоречить друг другу; независимы — то есть ни одна не должна быть следствием другой; достаточны — то есть они должны быть такие, и их должно быть ровно столько, чтобы из них следовали все до одной теоремы данной геометрии. Гильберт не только нашел общий подход к аксиоматике, но и сумел для каждой из известных гео­метрий, а также и для некоторых других более общих случаев построить правильную систему аксиом.

Через тридцать три года после празднования в Ка­занском университете столетия со дня рождения Лоба­чевского, там же и не менее торжественно отмечалось столетие рождения неэвклидовой геометрии.

Самую яркую речь произнес Вениамин Федорович Каган, один из крупнейших советских геометров, чело­век, влюбленный в Лобачевского и его творение, всю свою жизнь посвятивший развитию, разъяснению и про­паганде идей неэвклидовой геометрии.

— Здесь независимость открытия, отделенного про­пастью от прошлого, напоминала легенду о творении. Здесь смелость научной мысли достигла высшего дерз­новения, глубина проникновения и энтузиазм творчества граничили с самопожертвованием.

Открытие неэвклидовой геометрии рассматривается обыкновенно как победа логики над интуицией... Воображаемую геометрию нельзя списать с живой природы; воображаемая геометрия есть чистое творение человеческого ума.

Пусть это покажется парадоксом, но я утверждаю, что Лобачевский интуицией победил интуицию! Все силы человеческого духа, логика и интуиция, трезвость и фантазия, анализ и синтез, все формы и силы мысли в своих иногда противоположных проявлениях соединились для этого творения.