Вы здесь

Спин ½ и дальнейшие обобщения. II

 

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

 

Назад    Вперёд

3. Вычисление вероятностей.

Пусть пучок электронов, первоначально поляризованный в направлении |d›, пропустили через прибор Штерна-Герлаха, с ориентацией магнитного поля вдоль оси Z.

Тогда пучок электронов разделится на два пучка, поляризованных вдоль оси Z (состояние поляризации |z+›) и в противоположном направлении (состояние поляризации |z›):

 

|d› = (cosθ/2)|z+› + (е · sinθ/2)|z›.

 

Существенной особенностью спина, как квантово–механической системы является то, что невозможно заранее предсказать, в каком именно состоянии окажется тот или иной электрон, — или в состоянии |z+›, или в состоянии |z›. Можно высказать суждение лишь о вероятностях этих событий.

Приступим к вычислению вероятностей.

Во-первых, с достоверностью, т.е. с вероятностью, равной единице,  случится или состояние |z+›, или состояние |z›. Тогда по правилу сложения вероятностей несовместных событий имеем:

 

 Р(|d› → |z+›) + Р(|d› → |z›) = 1.

 

Укоротим обозначения: p+ = Р(|d› → |z+›),  p= Р(|d› → |z›), тогда

 

p+ + p= 1.

 

Во-вторых, из геометрических соображений понятно, что проекция спина, первоначально ориентированного в направлении |d›, на ось Z равна (ħ/2)cosθ.

Но такого не случится вследствие квантового характера спина, — проекция будет или +ħ/2, или –ħ/2.

Тогда потребуем, чтобы получалось (ħ/2)cosθ хотя бы в среднем:

 

σср = σ+· p+  + σ· p = (ħ/2) p+ – ħ/2 p = (ħ/2)cosθ.

 

Отсюда следует:

 

p+ + p = 1 = cos2θ/2 + sin2θ/2

p+ – p = cos (θ/2 + θ/2)   = cos2θ/2 – sin2θ/2.

 

И тогда вероятности оказываются равными

 

p+ = Р(|d› → |z+›) = cos2θ/2,  p= Р(|d› → |z›) = sin2θ/2.

 

Теперь из выражения для |d› получаем:

 

p+ = |‹z+|d›|2 = cos2θ/2,    p= |‹z|d›|2 = |е · sinθ/2|2 = sin2θ/2.

 

Выражения ‹z+|d› и ‹z|d› и, вообще, выражения вида

 

<конечное состояние | начальное состояние>,

 

называются амплитудами вероятности.

Для получения вероятности перехода из начального состояния в конечное необходимо вычислить квадрат модуля амплитуды вероятности:


P = |<конечное состояние | начальное состояние>|2 .

 

Наконец, принимая во внимание ортонормированность |z+› и |z›, получим:

 

‹d|d› = [‹z+|(cosθ/2) + ‹z|(е · sinθ/2)] [(cosθ/2)|z+› + (е· sinθ/2)|z›] =

cos2θ/2 + sin2θ/2 = p+ + p = 1.

 

Т.е. требование нормированности вектора состояния означает, что сумма вероятностей всех допустимых исходов, т.е. по сути, вероятность достоверного события, должна быть равна единице.

4. Изображение физических величин эрмитовым оператором.

Запишем теперь выражение для среднего значения спина несколько по-иному:

 

σср = (ħ/2)p+ – (ħ/2)p = (ħ/2)|‹z+|d›|2 – (ħ/2)|‹z|d›|2

(ħ/2)‹d|z+›‹z+|d› – (ħ/2) ‹d|z›‹z|d› =

‹d|[(ħ/2)|z+›‹z+| – (ħ/2)|z›‹z|]|d› =‹d||d›

 

Здесь 

 

= (ħ/2)|z+›‹z+| – (ħ/2)|z›‹z| = (ħ/2).

 

эрмитов оператор с собственными значениями (ħ/2) и –(ħ/2), которым соответствуют собственные векторы |z+› и |z›.

Таким образом, оказывается, что в  операторе  сошлись воедино все существенные характеристики той физической величины, которую мы называем проекцией спина на ось Z.

А именно, проекция может принимать только два, причём действительных, значения: (ħ/2), если она направлена в положительном направлении оси Z, т.е. вдоль |z+›, и –(ħ/2) при обратном направлении, |z›.

Теперь введём эрмитов оператор, аналогичный :

 

 = ħ/2|d+›‹ d+| – (ħ/2)|d›‹d|,

 

здесь  

 

|d+› = |d› = (cosθ/2)|z+› + (е· sinθ/2)|z›,

 

а вектор

 

|d› =  (sinθ/2)|z+› – ( е cosθ/2)|z›,

 

задаёт направление, противоположное направлению |d+›; он получится из |d+› заменой углов сферической системы координат: θ на 180º – θ, и φ на 180º+φ.

Принимая во внимание формулу Эйлера,

 

е = cosφ + isinφ,


выполним соответствующие вычисления:

 

|d+›‹d+| = {(cosθ/2)|z+› + (е · sinθ/2)|z›} · {(cosθ/2)‹z+| + (е  · sinθ/2)‹z|}=

cos2θ/2|z +›‹z+| + cosθ/2 sinθ/2  е |z +›‹z| + cosθ/2 sinθ/2 е |z ›‹z+| + sin2θ/2|z ›‹z|.

 

|d›‹d| = {(sinθ/2)|z+› – (е · cosθ/2)|z›} · {(sinθ/2)‹z+| – (е· cosθ/2)‹z|} =

sin2θ/2|z +›‹z+| – cosθ/2 sinθ/2  е |z +›‹z| – cosθ/2 sinθ/2 е |z ›‹z+| + cos2θ/2|z ›‹z|.

 

|d+›‹d+| – |d›‹d| = (cos2θ/2 – sin2θ/2)|z+›‹z+| + 2cosθ/2 sinθ/2  е |z +›‹z| + 2cosθ/2 sinθ/2 е |z›‹z+| + (sin2θ/2 – cos2θ/2) |z ›‹z| =

cosθ (|z+›‹z+| – |z›‹z|) +  sinθ cosφ(|z +›‹z| + |z›‹z+|) + sinθ sinφ(–i|z+›‹z| + i|z›‹z+|).

 

Нетрудно убедиться, что операторы

 

 = |z +›‹z| + |z›‹z+|,

 = –i|z+›‹z| + i|z›‹z+|,

 = |z+›‹z+| – |z›‹z|

 

изображаются в –представлении соответствующими –матрицами Паули, отсюда понятно происхождение таких обозначений.

Теперь для оператора проекции спина  на произвольное направление получаем:

 

 = ħ/2[n + m + k ],

 

здесь n = sinθ cosφ, m = sinθ sinφ, k = cosθ, — направляющие косинусы, задающие направление.

Отсюда, в частности, операторы проекций спина на координатные оси, как и следовало ожидать, имеют вид:

 

= (ħ/2)|z +›‹z| + (ħ/2)|z›‹z+| = (ħ/2),

= – (ħ/2) i |z +›‹z| + (ħ/2) i (ħ/2)|z›‹z+| = (ħ/2),

= (ħ/2)|z+›‹z+| – (ħ/2)|z›‹z| = (ħ/2).

 

Эти операторы, очевидно, являются эрмитовыми.

Оказывается, что не только проекции спина на координатные оси описываются эрмитовыми операторами.

Любые физические величины в квантовой механике изображаются эрмитовыми операторами, причём (действительные) значения, которые может принимать физическая величина, являются собственными значениями изображающего её эрмитового оператора, а собственные векторы эрмитового оператора описывают те состояния, в которых физическая величина имеет соответствующие определённые значения.

©   А. А. Дмитриевский.

Назад    Вперёд