Интересно отметить следующее: можно строго доказать, что если пятый постулат Евклида (или эквивалентное ему предложение Плейфера) заменить аксиомой Лобачевского, то тогда через точку А будет проходить бесконечное (!) множество прямых, не пересекающих прямую b.
В процессе доказательства этого предложения нам придется использовать так называемую аксиому Паша(Мориц Паш (1843 — 1930) — немецкий математик). Эта аксиома читается так: «Пусть дан треугольник АBС; если прямая a , лежащая в плоскости треугольника, пересекает отрезок АВ, то она пересекает также либо отрезок АС, либо отрезок ВС, при этом прямая a не содержит ни одной из точек А, В, С» (рис. 20).
Аксиома Паша входит во II группу аксиом системы Гильберта. Внимательно прочитайте еще раз аксиому Паша и запишите ее формулировку в тетради.
Приступаем к доказательству следующей теоремы.
Если принять аксиому Лобачевского, то отсюда следует, что через точку, лежащую вне прямой, в плоскости, определяемой ими, можно провести бесконечное множество прямых, не пересекающих данную прямую.
1.
Итак, по аксиоме Лобачевского прямыеa1 и a2
2.
На прямой a2 возьмем какую-нибудь точку B2 и соединим ее с произвольной точкой B прямой b (рис. 22). Отрезок BB2 пересечет прямую a1 в некоторой точке B1.
Возьмем произвольную точку М на отрезке BB1. Докажем, что прямая АМ не пересекает прямую b.
3.
Допустим, что прямая АМ пересекает прямую b в некоторой точке С (рис. 23).
4.
Попробуем теперь обнаружить возникшее противоречие. Для этого надо рассмотреть ∆МВС и прямую a1.
5.
Прямая a1, пересекает сторону МВ треугольника МВС; значит, прямая a1 должна пересечь
Сторону МС указанного треугольника прямая a1 пересечь не может, так как
6.
Значит, прямая a1 должна пересечь сторону ВС. Почему это невозможно?
7.
Таким образом, доказали, что все прямые, лежащие в заштрихованной области и проходящие через точку А (рис. 24), не пересекают прямую b.
Добавить комментарий