Вы вспомнили, что вопрос о непротиворечивости геометрии Лобачевского сводится к построению модели новой геометрии, в которой аксиома параллельности (предложение Плейфера) заменена аксиомой Лобачевского, а остальные аксиомы евклидовой геометрии сохранены в прежнем виде.
Вложим в первоначальные неопределяемые понятия (точка, прямая, плоскость) аксиоматики Гильберта конкретный смысл, а затем проверим, выполняется ли в той модели, которую намечаем построить, аксиоматика Лобачевского.
Пусть дан круг. Неевклидовыми точками будем считать те точки, которые расположены внутри круга. Точки (в обычном смысле), лежащие на окружности, исключаем из рассмотрения. Прямыми будем считать хорды данной окружности и назовем их неевклидовыми прямыми.
Вопрос. Имеются ли на неевклидовой прямой АВ первая и последняя точки (рис. 25)?
Ответы.
А. Разумеется, да. Это соответственно точки А и В (см. указание 69).
Б. Нет, так как речь идет о неевклидовых точках, а точки А и В, лежащие на окружности, не являются неевклидовыми (см. указание 70).
Добавить комментарий