Вы здесь

Какова же все-таки геометрия Вселенной?

 

Первым ученым, подвергшим сомнению универсальность геометрии Евклида для космических масштабов, был Н. И. Лобачевский. Для первой половины XIX в. эта мысль была революционной. Лобачевский поднялся до больших высот философских обобщений и намного опередил свое время.

Лобачевский исходил из того, что если реальное пространство не подчиняется законам евклидовой геометрии, то сумма углов треугольника, имеющего гигантские космические масштабы, будет меньше 2d. Вершины экспериментального треугольника были выбраны следующим образом: одна вершина на Земле, другая на Солнце и третья на звезде Сириус. Если бы сумма углов этого треугольника оказалась меньше 2d, то у неевклидовой геометрии появилась бы лучшая из всех возможных моделей — природа. Однако результаты измерений разочаровали Лобачевского. Сумма углов треугольника оказалась меньше 2d, но на столь ничтожную величину, что она не выходила за рамки допустимых ошибок измерений. Вопрос остался открытым, хотя Лобачевский по-прежнему был убежден в неевклидовости мирового пространства.

Вопрос, впервые поставленный Лобачевским, был чрезвычайно сложным. Исчерпывающего ответа на него не дала до сих пор и наука наших дней.

Можно заметить, что ограниченность космического пространства, которое «видит» человек, используя самые мощные астрономические приборы, позволяет сразу поколебать незыблемость евклидовой геометрии. Действительно, астрономические инструменты позволяют «видеть» отдаленные части Метагалактики, находящиеся от нас на расстоянии в несколько миллиардов парсеков (парсек равен 3,26 светового года). Напомним, что свет распространяется со скоростью 300.000 км/с. Таким образом, хотя Вселенная безгранична во времени и пространстве, видимая нам часть пространства ограничена. Рассмотрим рисунок 50. Черным цветом на рисунке окрашена невидимая для нас часть Вселенной. Если ограничить размеры Вселенной до видимой ее части, то в ней будет выполняться геометрия Лобачевского. Правда, мы сделали сильное допущение, ограничив пространство.

При жизни Лобачевского большинство ученых считало, что идеи великого русского ученого бессмысленны. Лед тронулся лишь в 1868 г., когда произошли два важнейших события, связанные с именами итальянского математика Эудженио   Бельтрами (1835 — 1900) и немецкого математика Бернхарда Римана (1826 — 1866).

В своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» Бельтрами показал, что существуют реальные тела, на поверхности которых выполняется геометрия Лобачевского. Этот вывод итальянского математика был впечатляющим: оказалось, что в евклидовом реальном мире имеются объекты неевклидовой природы.

Одну из поверхностей, на которых выполняется геометрии Лобачевского, можно получить следующим образом. Рассмотрим кривую, которая называется цепной линией (рис. 51). Эта линия называется цепной, так как форму этой линии принимает свободно подвешенная в двух точках тяжелая цепь. Представим себе теперь, что цепь разрезана в самой низкой точке А. Тогда концы цепи опишут некоторую кривую, получившую название трактрисы (рис. 52).

Если же перейти от наглядных представлений к математической интерпретации рассматриваемой кривой, то можно указать следующее характеристическое свойство трактрисы: длина касательной, т. е. отрезок от точки касания до оси абсцисс, есть величина постоянная. При этом ветви кривой неограниченно приближаются к оси абсцисс.

Вращая трактрису около оси абсцисс, получим поверхность вращения в виде двух сложенных раструбов (рис. 53). Эта поверхность называется псевдосферой. Условимся считать прямой линией на рассматриваемой поверхности так называемую «геодезическую» линию. Не раскрывая строго математическую суть этого понятия, будем считать «прямой» на псевдосфере линию кратчайшего расстояния между точками, расположенными на ее поверхности. Бельтрами показал, что на псевдосфере реализуется часть плоскости Лобачевского. На рисунке 54 видно, что «прямые» b и c, проходящие через точку A, параллельны «прямой» a.

Псевдосферу называют поверхностью постоянной отрицательной кривизны. Говорим, что поверхность имеет отрицательную кривизну, если сумма углов криволинейного треугольника меньше 2d. Если построим на плоскости Лобачевского (или на псевдосфере, поскольку, как сказано выше, на ее поверхности выполняется геометрия Лобачевского) треугольник, то сразу же увидим, что сумма его углов меньше 2d (рис. 55).

Существуют и поверхности положительной кривизны, т. е. поверхности, на которых сумма углов треугольника больше 2d. Обнаружить такую поверхность очень просто. Ею является, например, поверхность шара. Условимся считать «прямой» на сфере любую окружность большого круга, т. е. окружность, получаемую при пересечении сферы плоскостью, проходящей через центр шара. На сфере получаем весьма своеобразную геометрию. Оказывается, что все прямые здесь пересекаются. Следовательно, на сфере не может иметь место ни геометрия Евклида, ни геометрия Лобачевского. Что касается треугольников, то сумма их углов всегда больше 2d. В некоторых же случаях сумма углов треугольника может быть равной 3d (рис. 56).

Поскольку уже имеем как отрицательную, так и положительную кривизну поверхности, легко понять, что на обычной евклидовой плоскости имеет место нулевая кривизна.

Серьезный шаг в развитии неевклидовой геометрии был сделан Бернхардом Риманом. 10 июня 1854 г. Риман прочитал знаменитую лекцию «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» на философском факультете Геттингенского университета. Аудитория состояла в основном из лиц, имевших не очень хорошую математическую подготовку. Правда, на лекции присутствовал Карл Гаусс, высоко ее оценивший, но все же лекция Римана прошла незамеченной в математическом мире. После смерти Римана (он безвременно скончался от туберкулеза) текст лекции был обнаружен в его бумагах немецким математиком Рихардом Дедекиндом. Опубликование в 1868 г. этих материалов произвело огромное впечатление на математиков.

Риман включил в число аксиом следующее предложение: каждая прямая, лежащая в одной плоскости с данной прямой, пересекает эту прямую.

Это означает, что в геометрии Римана вообще нет параллельных прямых, сумма же углов произвольного треугольника в отличие от геометрии Евклида и геометрии Лобачевского больше 2d. Выяснилось, что геометрия Римана непротиворечива. При этом пространство Лобачевского оказалось одним из частных случаев римановых пространств. В лекции были затронуты общие вопросы, связанные с геометрией физического пространства. Заканчивая свою лекцию, Риман сказал, что мы стоим на пороге области, принадлежащей другой науке — физике, и переступить его не дает нам повода сегодняшний день.

Таким образом, наличие трех логически безупречных и равноправных геометрических систем привело к постановке вопроса: какова геометрия Вселенной, какова геометрия внутриатомного мира?

 Однозначный ответ современная наука дать не может. Эта проблема может быть решена лишь в результате огромной совместной работы астрономов, математиков, физиков, философов, космологов (космология — наука о Вселенной как едином целом).

Наука приблизилась к ответу на поставленный вопрос о геометрии Вселенной после открытия в начале XX в. великим физиком Альбертом Эйнштейном (1879 — 1955) специальной и общей теории относительности.

Высказывалось мнение, что общая теория относительности представляет собой первый пример чисто физической теории, появившейся в результате математического прыжка в неизвестное.

Из общей теории относительности следует, в частности, что пространство искривлено. Это объясняется тем, что вблизи тел, имеющих огромную массу (например, вблизи Солнца, звезд), законы ньютоновской механики изменяются, геометрия пространства становится неевклидовой. Хорошо известно, что одной из самых распространенных моделей прямой является луч света. Однако свет, проходя мимо Солнца или каких-либо звезд, под влиянием силы притяжения изгибает свою траекторию.

 В 1916 г. Европа была объята войной. Эйнштейн в это время находился в Германии, поэтому экземпляр его статьи был послан английскому ученому Эддингтону из нейтральной Голландии. В этой статье излагалась суть теории относительности. Сам Эйнштейн не сомневался в том, что и эти последние следствия его теории скоро найдут свое подтверждение. Статья Эйнштейна произвела на Эддингтона столь сильное впечатление, что он вместе с астрономом Дайсоном задумал организовать две экспедиции для экспериментальной проверки гравитационного искривления луча света, проходящего вблизи Солнца. Однако надо было дожидаться конца войны, а также... солнечного затмения. Суть эксперимента состояла в том, чтобы попытаться сфотографировать звезду, которую при отсутствии отклонения света вблизи Солнца наблюдатель с Земли увидеть не мог. Этот опыт можно было осуществить только при полном солнечном затмении, так как фотографировать на фоне яркого светового потока невозможно (рис. 57).

После окончания первой мировой войны одна экспедиция отправилась в деревню Собраль в Бразилии, а другая — на маленький португальский остров Принсипи, расположенный у западного побережья Африки. В этих пунктах сложились благоприятные условия для наблюдения полного солнечного затмения 29 мая 1919 г. Проведенные эксперименты подтвердили теоретические прогнозы Эйнштейна.

Открытие теории относительности, расширение объема знаний о Вселенной приводят нас к выводу, что Вселенную в целом нельзя рассматривать как застывшую и неизменяемую систему. Противоречивой и изменяющейся Вселенной присуще изменение метрики пространства и времени (пространство называется метрическим, если в нем определено расстояние).

Важные результаты были получены выдающимся советским ученым А. А. Фридманом (1888 — 1925). В основу разработанной Фридманом модели Вселенной была положена гипотеза, согласно которой Вселенная однородна, т. е. устроена одинаково во всех своих частях. Конечно, речь идет о Вселенной в целом. Если же говорить о сравнительно небольших масштабах, то, разумеется, неоднородность Вселенной будет видна невооруженным глазом. Фридман установил, что если плотность вещества во Вселенной меньше некоторой постоянной величины (критической плотности), то кривизна пространства является отрицательной, если же критическая плотность превзойдена, то пространство имеет положительную кривизну. Наконец, в случае, когда плотность равна критическому значению, то кривизна пространства равна нулю. Таким образом, как показал Фридман, при определенных условиях геометрия Вселенной имеет отрицательную кривизну, т. е. совпадает с геометрией Лобачевского.

Исходя из общей теории относительности, в 1922 г. Фридман сделал вывод, что Вселенная должна расширяться с течением времени.

Фридмановская модель Вселенной, полученная теоретическим путем, была блестяще подтверждена экспериментально уже после смерти Фридмана американским астрономом Эдвином Хабблом (1889 — 1953). Хаббл, действуя совершенно независимо от Фридмана, обнаружил «разбегание» далеких туманностей. Эйнштейн оценил полученные Хабблом результаты как подтверждение теоретических положений Фридмана. Позднее была построена модель «расширяющейся» Вселенной.

Установленная Хабблом в 1929 г. зависимость между красным смещением галактик и расстоянием до них вошла в науку как один из самых важных космологических законов, получивших название «закона Хаббла».

Современным уровень науки позволяет сделать вывод, что реальное пространство Вселенной является искривленным пространством переменной кривизны. Следовательно, геометрия Вселенной не может быть ни геометрией Евклида, ни геометрией Лобачевского, поскольку евклидово пространство и пространство Лобачевского имеют соответственно нулевую и постоянную отрицательную кривизну. Поскольку кривизна евклидова пространства равна нулю, то можно считать, что пространство Лобачевского, имеющее постоянную отрицательную кривизну, ближе к геометрии Вселенной.

 

Добавить комментарий

Plain text

  • HTML-теги не обрабатываются и показываются как обычный текст
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.