Вы здесь

Комплексные числа и повороты на плоскости. IV

 

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

 

Назад       Вперёд

6. Тригонометрическая форма комплексных чисел.

Пусть дано некоторое комплексное число  с модулем

Очевидно, что   причём

Известно, что

Поэтому существует некоторый угол  , такой что

В результате получаем тригонометрическую форму комплексных чисел:

Угол  называется аргументом комплексного числа.

Нам уже известно, что комплексные числа являются  матрицами следующего вида:

Подставив сюда  получим:

.

7. Геометрический смысл линейного преобразования, соответствующего комплексному числу в матричной форме.

Выясним геометрический смысл аргумента  комплексного числа.  

Только что нами получена матрица, изображающая любое комплексное число. Запишем соответствующее ей линейное преобразование, рассматривая при этом частный случай :

Пусть даны две точки  и  . Линейное преобразование переводит эти точки в  и  соответственно.

Вычислим расстояние

Скобки в подкоренном выражении равны:

Теперь вычислим сумму квадратов:

Удвоенные произведения здесь взаимно уничтожаются, поэтому

Это значит, что исследуемое линейное преобразование таково, что все расстояния сохраняются.

Для равенства треугольников необходимо и достаточно, чтобы были равны их стороны. Поэтому линейное преобразование преобразует любой треугольник в некоторый треугольник, равный исходному. Следовательно, в результате линейного преобразования сохраняются не только расстояния, но и углы.

Кроме того, непосредственно убеждаемся, что начало координат остаётся неизменным, иначе говоря, точка (0,0) переходит в точку (0,0).

Преобразование плоскости называется поворотом плоскости вокруг центра, если оно сохраняет расстояния и углы и, кроме того, оставляет низменной некоторую точку, называемую центром поворота.

Теперь возьмём произвольный треугольник с вершиной в начале координат. Рассматриваемое нами линейное преобразование преобразует его в точно такой же треугольник и тоже с вершиной в начале координат. Это значит, что, во-первых, произошёл поворот на некоторый угол относительно начала координат, и, во-вторых, все радиусы, исходящие из начала координат поворачиваются на один и тот же угол.  

Теперь выясним, какой это угол.

С помощью формул поворота плоскости непосредственно убеждаемся, что точка (1, 0) переводится в точку :

Следовательно, поворот выполняется на угол .

Итак,  поворот плоскости относительно начала координат на угол  описывается формулами:

Это значит, что комплексное число

при  изображает поворот плоскости против часовой стрелки на угол . Такое направление принято считать положительным.

Если , то повторяя приведённые выше соображения, получим, что , т.е. все расстояния пропорционально увеличиваются (при  ) или уменьшаются (при  ).

Короче, геометрический смысл комплексного числа таков: выполняется поворот всей плоскости на угол , при , и дополнительно выполняется преобразование подобия при .

А теперь вернёмся к матрице поворота на плоскости:

Обратная матрица

с учётом того, что  , принимает вид:

У матриц поворота есть важное и полезное свойство: обратная матрица равна транспонированной:

Матрицы с действительными матричными элементами, у которых транспонированная и обратная матрица совпадают, называются ортогональными.

Определитель матрицы поворота   равен 1, так как

Можно доказать, что определитель любой ортогональной матрицы равен ±1.

 

Назад       Вперёд

© А. А.  Дмитриевский