Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».
Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.
6. Тригонометрическая форма комплексных чисел.
Пусть дано некоторое комплексное число с модулем
Очевидно, что причём
Известно, что
Поэтому существует некоторый угол , такой что
В результате получаем тригонометрическую форму комплексных чисел:
Угол называется аргументом комплексного числа.
Нам уже известно, что комплексные числа являются матрицами следующего вида:
Подставив сюда получим:
.
7. Геометрический смысл линейного преобразования, соответствующего комплексному числу в матричной форме.
Выясним геометрический смысл аргумента комплексного числа.
Только что нами получена матрица, изображающая любое комплексное число. Запишем соответствующее ей линейное преобразование, рассматривая при этом частный случай :
Пусть даны две точки и . Линейное преобразование переводит эти точки в и соответственно.
Вычислим расстояние
Скобки в подкоренном выражении равны:
Теперь вычислим сумму квадратов:
Удвоенные произведения здесь взаимно уничтожаются, поэтому
Это значит, что исследуемое линейное преобразование таково, что все расстояния сохраняются.
Для равенства треугольников необходимо и достаточно, чтобы были равны их стороны. Поэтому линейное преобразование преобразует любой треугольник в некоторый треугольник, равный исходному. Следовательно, в результате линейного преобразования сохраняются не только расстояния, но и углы.
Кроме того, непосредственно убеждаемся, что начало координат остаётся неизменным, иначе говоря, точка (0,0) переходит в точку (0,0).
Преобразование плоскости называется поворотом плоскости вокруг центра, если оно сохраняет расстояния и углы и, кроме того, оставляет низменной некоторую точку, называемую центром поворота.
Теперь возьмём произвольный треугольник с вершиной в начале координат. Рассматриваемое нами линейное преобразование преобразует его в точно такой же треугольник и тоже с вершиной в начале координат. Это значит, что, во-первых, произошёл поворот на некоторый угол относительно начала координат, и, во-вторых, все радиусы, исходящие из начала координат поворачиваются на один и тот же угол.
Теперь выясним, какой это угол.
С помощью формул поворота плоскости непосредственно убеждаемся, что точка (1, 0) переводится в точку :
Следовательно, поворот выполняется на угол .
Итак, поворот плоскости относительно начала координат на угол описывается формулами:
Это значит, что комплексное число
при изображает поворот плоскости против часовой стрелки на угол . Такое направление принято считать положительным.
Если , то повторяя приведённые выше соображения, получим, что , т.е. все расстояния пропорционально увеличиваются (при ) или уменьшаются (при ).
Короче, геометрический смысл комплексного числа таков: выполняется поворот всей плоскости на угол , при , и дополнительно выполняется преобразование подобия при .
А теперь вернёмся к матрице поворота на плоскости:
Обратная матрица
с учётом того, что , принимает вид:
У матриц поворота есть важное и полезное свойство: обратная матрица равна транспонированной:
Матрицы с действительными матричными элементами, у которых транспонированная и обратная матрица совпадают, называются ортогональными.
Определитель матрицы поворота равен 1, так как
Можно доказать, что определитель любой ортогональной матрицы равен ±1.
Последние комментарии