Король математиков

Великого немецкого ученого Карла Гаусса современники назвали королем математики, хотя его происхождение было далеко не королевским. Карл Гаусс родился 30 апреля 1777 года. Его отец был фонтанных дел мастером и садовником. Он считал, что Карлу вовсе не обязательно учиться, чтобы стать таким же мастером, как он сам. Однако мать Гаусса, обладавшая острым умом и сильным характером, имела противоположное мнение. Ее любимый сын с двух лет поражал окружающих своим умом. Ей удалось преодолеть сопротивление мужа, и семи лет Карл поступил в народную школу. Известно, что уже в третьем классе учитель Карла Бюттнер обратил внимание на блестящие математические способности своего ученика. Математический багаж этого педагога был невелик. Но, к счастью, у учителя был помощник — 17-летний Иоганн Мартин Бартельс, влюбленный в математику. Между помощником учителя и десятилетним мальчиком возникла дружба, продолжавшаяся до смерти Бартельса в 1836 году. Старший друг Гаусса ввел его в тайны алгебры и в значительной степени способствовал его математическому развитию.

Интересно отметить, что в Казанском университете Бартельс получил кафедру чистой математики. В 1811 году он начал заниматься с Лобачевским у себя на дому как с особо одаренным студентом. При этом профессор разбирал со своим талантливым учеником «Арифметические исследования» Гаусса.

Удивительная игры судьбы! Все три создателя неевклидовой геометрии были связаны невидимыми нитями: Лобачевский с Гауссом — через Бартельса. Янош Больяй с королем математики — через своего отца Фаркаша.

В 1788 году Карл Гаусс поступает в гимназию. Он с наслаждением изучает иностранные языки (математика в гимназии не преподавалась), в совершенстве овладевает латынью. Впоследствии большинство его работ было написано на этом языке.

По-видимому, в гимназии Гаусс не раз задумывался о своем будущем. Он понимал, конечно, что у его родителей нет средств для того, чтобы дать ему высшее образование. К счастью, его юный друг и покровитель Бартельс был знаком с некоторыми влиятельными людьми. Эти люди, познакомившись с Гауссом, были поражены его способностями и начитанностью. Вскоре о нем узнают при дворе. В 1791 году его представляют герцогу Браунгшвейгскому Карлу Вильгельму Фердинанду, которому мальчик очень понравился. В результате Гаусс получает возможность поступить в Карлово училище в Браунгшвейге, в котором обучался три года. В это же время он изучил ряд работ Ньютона, Эйлера, Лагранжа, начал свои знаменитые исследования по высшей арифметике. И если бы Гаусс не создал ничего, кроме трудов по арифметике, то его имя все равно навсегда было бы вписано в историю наук.

Примерно в это же время молодому математику удалось доказать теорему, которую он назвал «золотой». Сейчас эта теорема называется законом взаимности квадратичных вычетов. Смысл теоремы состоит в следующем.

Если разность чисел a и b  делится нацело на число m, то говорят, что a и b  сравнимы по модулю m . Это записывается так: a  ≡ b (modm), например, 37 ≡ 5(mod 4), так как разность 37 – 5 делится на 4. Пусть далее x — неизвестное число, а r — известное. Если существует такое число x, что x² ≡ r(modm), то сравнение разрешимо, в противном случае неразрешимо. Теперь можно сформулировать доказанное Гауссом предложение. Пусть дана пара сравнений x ² ≡ q(modp) и x² ≡ p (modq), в которых p и q  — простые числа. Оба сравнения разрешимы или оба неразрешимы во всех случаях, кроме одного, когда p и q при делении на 4 дают в остатке 3.

Доказательство закона взаимности квадратичных вычетов явилось серьезным достижением Гаусса. Ведь этого не удалось сделать таким блистательным математикам, как Эйлер и Лежандр.

В 1795 году Карл Гаусс поступил в знаменитый Геттингенский университет, хотя он еще и не решил окончательно, сделать ли выбор в пользу математики или же заняться филологией. И лишь за месяц до своего 19-летия Гаусс сделал окончательный выбор в пользу математики.

Выбор Гаусса был предопределен удачным решением интересной математической задачи. Занимаясь отысканием корней уравнения хⁿ — 1 = 0, он неожиданно обнаружил связь между этой задачей и делением окружности на равные части и доказал, что правильный семнадцатиугольник можно вписать в круг при помощи циркуля и линейки. Для Гаусса это открытие имело столь блестящее значение, что впоследствии он завещал выгравировать на своем надгробном памятнике правильный семнадцатиугольник, вписанный в круг. Воля ученого была выполнена, правда, на могильном камне этого рисунка нет. Однако памятник, воздвигнутый Гауссу в Браунгшвейге, стоит на едва заметном семнадцатиугольном постаменте.

Итак, сомнения отброшены, Гаусс окончательно решил стать математиком. Начиная со дня решения задачи о семнадцатиугольнике — 30 марта 1796 года — юный ученый приступил к ведению научного дневника. Последняя запись в дневнике сделана 9 июля 1814 года. Дневник был опубликован только в 1898 году, т. е. через 43 года после смерти Гаусса. Это один из интереснейших документов истории математики.

В 1798 году Гаусс закончил университет и вернулся в родной Браунгшвейг. На помощь ему снова пришел герцог Карл, пожаловавший молодому ученому стипендию для продолжения научных исследований.

Интенсивность научной деятельности Гаусса поражает воображение. В 1799 году он получил степень доктора за диссертацию, посвященную доказательству так называемой основной теоремы алгебры.

Основная теорема алгебры читается так:

алгебраическое уравнение n-й степени имеет ровно n действительных и комплексных корней (комплексным числом называется выражение вида a+ bi, где a и b — действительные числа, а i — некоторый символ, такой, что i² = –1).

Еще в 1629 году французский математик Альберт Жирар высказал предположение, что уравнение n-й степени имеет n  корней. Впоследствии эту теорему доказал Даламбер, но его доказательство носило не чисто алгебраический характер, в нем использовались положения математического анализа. Чисто алгебраическое доказательство было найдено Гауссом.

В течение нескольких лет Гаусс упорно работал над приведением в систему своих исследований по теории чисел. Итогом этой работы явилась публикация в 1801 году большого труда под названием «Арифметические исследования». В этом своем монументальном исследовании Гаусс коснулся также вопросов, которыми уже занимались другие знаменитые математики. Возьмем, например, известный результат Пьера Ферма (1601 — 1665): всякое простое число вида 4n +1 единственным образом представимо в виде суммы двух квадратов. Ферма доказал это предложение очень громоздким способом. Гаусс провел доказательство значительно изящнее при помощи так называемых двойничных квадратичных форм.

В 1806 году при трагических обстоятельствах умер герцог Карл — покровитель великого математика. Перед Гауссом сразу же встала задача найти приемлемый способ обеспечения своей семьи: к этому времени он был женат. Но Гаусс напрасно волновался, его математические труды уже получили широкую известность. Предполагалось его приглашение в Петербург, он был выбран членом-корреспондентом Петербургской академии наук. В конце концов после долгих переговоров Гаусс принял приглашение Геттингенского университета занять пост директора вновь организованной обсерватории. Он должен был также читать лекции по математике, тем не менее у него оставалось много времени и для научно-исследовательской работы. На этом посту Гаусс оставался до конца своей жизни.

Одним из его многих увлечений стала и астрономия. 1 января 1801 года один астроном открыл неизвестную звезду 8-й звездной величины. Была высказана гипотеза, что речь идет о планете. Чтобы ответить на этот вопрос, надо было вычислить орбиту небесного тела. За эту работу взялся Гаусс и за два месяца ее закончил. Планету назвали Церерой. А в следующем году произошла сенсация. Воспользовавшись траекторией, вычисленной Гауссом, немецкий астроном Ольберс обнаружил эту планету. Многими математиками высказывалось сожаление по поводу того, что Гаусс был сбит с основной математической дороги своими астрономическими увлечениями. Возможно, что для этого сожаления имеется основание. Ведь Гаусс так и не развил и не опубликовал некоторые свои открытия, о которых в очень краткой форме упоминалось в научном дневнике.

В 1809 году Гаусс опубликовал монументальный астрономический труд «Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям».

В августе 1811 года Гаусс впервые наблюдал комету, ту самую, на которую зимой 1812 года смотрел с радостным волнением Пьер Безухов, герой романа Л. Н. Толстого «Война и мир». Знаменитую комету наблюдали повсюду, пользуясь расчетами Гаусса. Свои астрономические наблюдения он продолжал до конца жизни.

К 1820 году центр интересов ученого переместился совершенно в иную область. Это произошло следующим образом. По поручению правительства Ганноверского королевства Гаусс начал заниматься геодезическими измерениями и исследованиями. (Геодезия — наука, которая, в частности, занимается измерениями на земной поверхности для отображения ее на планах и картах.) Интересно, что Гаусс усовершенствовал методы геодезических измерений, а также применяемые при этом инструменты. В 1828 году он предложил принять за математическую поверхность Земли средний уровень моря.

В 1828 году была опубликована геометрическая работа Гаусса «Общие исследования о кривых поверхностях». Положения, развитые в ней, требуют для понимания солидной математической подготовки. Но основную идею уловить можно.

Пусть на некоторой поверхности дана точка, координаты которой в пространстве (x, y, z ). Пусть далее (x  + ∆x, y + ∆y , z  + ∆z )  — координаты бесконечно близкой к ней точки. Квадрат расстояния между этими двумя точками назовем квадратичной формой и обозначим ds² = dx² + dy² + dz². Далее на заданной поверхности введем криволинейные координаты (по образцу широт и долгот на сфере). Тогда квадратичная форма запишется так: ds² = Edp² + Fdpdq + Gdq², где E, F, G — функции от p и q . Исследуя свойства поверхности, независимые от способа выбора криволинейных координат, Гаусс доказал, что свойства внутренней геометрии поверхности (расстояния, углы и др.) зависят от функций E, F, G. Отсюда он сделал вывод, что достаточно задать на поверхности квадратичную форму, чтобы вывести из нее все свойства поверхности. В частности, можно узнать, является поверхность «кривой» или нет. Гаусс предложил числовую характеристику меры искривления поверхности.

Любопытен следующий факт. В черновых записях Гаусса было обнаружено упоминание поверхности вращения постоянной отрицательной кривизны. Впоследствии эта поверхность вращения получила название псевдосферы. Итальянский математик Бельтрами показал, что ее внутренняя геометрия совпадает с ограниченной частью плоскости, на которой справедлива геометрия Лобачевского. Таким образом, если бы Гаусс, который, как мы знаем, занимался исследованием неевклидовой геометрии, обратил внимание на этот удивительный факт, то непротиворечивость новой геометрии была бы установлена значительно раньше.

Мы подошли теперь вплотную к вопросу об оценке места, занимаемого Гауссом в истории открытия неевклидовой геометрии.

По-видимому, Гаусс заинтересовался проблемой пятого постулата примерно в возрасте 15 лет. Читатель уже знает, что во время учебы в Геттингенском университете Гаусс обсуждал эту проблему со своим другом Фаркашем Больяйем. В одном из писем Гаусса, адресованном Ф. Больяйю (1799 г.), будущий великий математик показал ясное понимание того, что имеются многочисленные утверждения, при помощи которых можно доказать евклидов постулат. Если выразить эту мысль на современном языке, то Гаусс имел в виду следующее: существует много эквивалентов пятого постулата относительно аксиом евклидовой геометрии без аксиомы параллельности (или пятого постулата).

Обращает на себя внимание то, что Гаусс не оставил ни одной записи в научном дневнике, посвященной вопросу о доказательстве пятого постулата Евклида. На этом основании иногда делается вывод, что ученый не интересовался постулатом в тот период времени, когда он вел дневник. Однако записи делались им об открытиях или результатах вычислений. Скорее всего Гаусс размышлял об этом, но никаких записей не делал. Впрочем, о пятом постулате ученый неоднократно писал в своих письмах.

В 1813 году Гаусс написал одному из своих друзей о том, что в теории параллельных математика до сих пор не опередила Евклида. В другом письме, относящемся к 1816 году, ученый выражает эту же мысль. Следовательно, к 1816 году размышления Гаусса, по-видимому, еще не продвинули его вперед.

В 1818 году один из учеников Гаусса сообщил ему, что юрист из Кенигсберга Ф. Швейкарт, увлекающийся математикой, пришел к выводу о недоказуемости пятого постулата и к предположению, что наряду с евклидовой геометрией существует «астральная», т. е. «звездная», геометрия, в которой евклидов постулат не выполняется. (Свои мысли Ф. Швейкарт не опубликовал.) Гаусс ответил: «Почти все списано с моей души».

Таким образом, можно сделать вывод, что к 1818 году Гаусс овладел секретом недоказуемости пятого постулата и понимал возможность существования двух различных геометрий, хотя по-прежнему никаких подробных и систематических записей не делал.

Тем не менее Гаусс продолжал мысленно развивать идеи неевклидовой геометрии. В одном из своих писем он дал очень сжатое изложение сущности этой геометрии. В конспективной форме содержание письма можно изложить так (некоторые пояснения приведены в скобках):

1. Если допустить, что сумма углов треугольника меньше 180°, то это приводит к построению геометрии, отличной от евклидовой. Эта геометрия совершенно последовательна, и в ней можно решить любую задачу. (Читатель, очевидно, помнит, что предложение о равенстве суммы углов треугольника 180° является эквивалентом пятого постулата.)

2. Положения новой геометрии содержат много парадоксального. Но при размышлении они не содержат ничего невозможного.

3. В новой геометрии трудно определить некоторую постоянную. Бесконечно большое ее значение приводит обе системы к совпадению. (Читателю книги известно, что геометрия Евклида является предельным случаем неевклидовой геометрии. На странице 55 приводится так называемая    функция   Лобачевского:    α = П(p)    (см. рис. 41). Отсюда можно получить

Значение k — это и есть та постоянная, о которой говорит Гаусс. Легко видеть, что при неограниченном возрастании k П(p)  = π/2).

4. Попытки найти в неевклидовой геометрии противоречие оказываются бесплодными.

В заключении Гаусс отмечает, что ученым известно очень мало о сущности пространства и что мы не можем смешивать того, что нам представляется неестественным, с абсолютно невозможным.

Как известно, Гаусс только в 1831 году начал приводить в систему свои мысли и отрывочные записи по неевклидовой геометрии. Его заметки были найдены в архиве ученого после его смерти и напечатаны в 1900 году в восьмом томе «Собрания произведений К. Гаусса».

Итак, три великих ученых — К. Гаусс, Н. И. Лобачевский, Я. Вольяй — независимо друг от друга, почти одновременно пришли к отчетливому пониманию возможности существования геометрии, отличной от евклидовой. Но кому же все-таки принадлежит приоритет? Выдающийся немецкий ученый Феликс Клейн (1849 — 1925) без всяких колебаний пишет, что Гаусс первым открыл существование неевклидовой геометрии. Если бы события, связанные с доказательством возможности существования новой геометрии, происходили не в XIX, а, например, в XVI веке, то тогда установить приоритет открытия было бы весьма сложно. В это время не существовало научных периодических журналов. Ученые, наоборот, всячески старались скрыть от своих коллег сделанное открытие в надежде, что когда-либо удастся опубликовать собственную книгу. В XIX веке положение было иным. Русский математик, открыв неевклидову геометрию, опубликовал свои результаты. Приоритет без всякого сомнения принадлежит ему. Но славу создателей неевклидовой геометрии вместе с Лобачевским справедливо делят Карл Гаусс и Янош Больяй.

Однако вопрос о том, почему геттингенский математик не опубликовал свои результаты, относящиеся к теории параллельных, до сих пор остается загадкой. Гаусс как-то заметил, что он предпринимает свои исследования по глубокому внутреннему побуждению. Для него не столь важно, будут они когда-нибудь опубликованы или нет. В случае же с открытием неевклидовой геометрии были и другие причины. Гаусс бесконечно ценил возможность трудиться в тишине и покое. Он смертельно боялся крика беотийцев, т. е. глупцов и невежд, которые могли подумать, что ученый, успевший завоевать огромный авторитет, выжил из ума. Гаусс был борцом, когда дело касалось науки, преодоления огромных трудностей в той стихии, которую он хорошо знал. Но совершить другой подвиг — подобно Лобачевскому идти своей дорогой, не обращая внимания на вопли беотийцев, — Гаусс не смог. Поэтому в своих письмах, если речь шла о неевклидовой геометрии, он всегда предупреждал, что его высказывания носят сугубо частный характер.

Карл Фридрих Гаусс начал творить на стыке двух веков. По широте научных интересов, по новизне и оригинальности своих идей он заслуженно называется великим математиком XVIII — XIX веков. При этом в нем поразительным образом сочеталось увлечение чистой математикой и прикладными вопросами.

Гаусс умер на 78-м году жизни 23 февраля 1855 года.

Итак, подошло время расстаться с читателем. Но хотелось бы дать ему еще один, последний совет — прочитать речь Николая Ивановича Лобачевского на торжественном собрании Казанского университета 5 июля 1828 года.

Стиль знаменитого математика не очень легок для восприятия. И все-таки эту речь полезно прочитать. Вы отчетливее представите себе бескорыстного человека долга, каким был всегда Лобачевский, оцените его огромную начитанность, широту интересов. Вы получите возможность хотя бы в какой-то мере приобщиться к бесценному наследию великого математика.