Вы здесь

Описание направлений и поворотов в трёхмерном пространстве. II

 

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

 

Назад    Вперёд

4. Представление поворотов трёхмерного пространства через половинные углы.

Оказывается, повороты в исходном трёхмерном пространстве могут быть представлены сначала некоторыми поворотами в четырёхмерном параметрическом пространстве, а затем поворотами в двумерном комплексным евклидовом пространстве.

В частности матрица

задаёт следующий поворот в параметрическом пространстве:

  u1′ = u1 cosφ/2 – u3 sinφ/2,  

  u2′ = u2 cosφ/2 + u4 sinφ/2,

  u3′ = u1 sinφ/2 + u3 cosφ/2,

  u4′ = – u2 sinφ/2 + u4 cosφ/2.

Выполним соответствующие замены в формулах KS-преобразования:

Только

результаты:

Подробные вычисления:

x′ = x

x′ = 2(u1 u2′ – u3 u4′) =

 2(u1 cosφ/2 – u3 sinφ/2)(u2 cosφ/2 + u4 sinφ/2) –

 2(u1 sinφ/2 + u3 cosφ/2)(– u2 sinφ/2 + u4 cosφ/2) =

 2(u1u2 cos2φ/2 + u1u4 sinφ/2 cosφ/2 –  u2u3 sinφ/2 cosφ/2 – u3u4 sin2φ/2)

2(u1u2 sin2φ/2 + u1u4 sinφ/2 cosφ/2 u2u3 sinφ/2 cosφ/2 + u3u4 cos2φ/2) =

2 u1 u2 (cos2φ/2 + sin2φ/2) – 2 u3u4 (cos2φ/2 + sin2φ/2) =

2(u1u2u3u4) = x.

y′ =

y cosφ + z sinφ.

y′ = 2(u1 u3′ + u2 u4′) =

2(u1 cosφ/2 – u3 sinφ/2)(u1 sinφ/2 + u3 cosφ/2) +

2(u2 cosφ/2 + u4 sinφ/2)(–u2 sinφ/2 + u4 cosφ /2) =

2(u12 sinφ/2 cosφ /2 + u1u3 cos2φ/2 – u32 sinφ /2 cosφ/2 – u1u3 sin2φ/2) +

2(–u22 sinφ/2 cosφ/2 + u2u4 cos2φ/2 – u2u4 sin2φ/2 + u42 sinφ/2 cosφ/2) =

2(u12 u22 u32 + u42) sinφ /2 cosφ/2 +

2 u1u3 (cos2φ/2 – sin2φ/2) + 2 u2u4 (cos2φ/2 – sin2φ/2) = 

(u12 u22 u32 + u42) sinφ + 2(u1u3 + u2u4) cosφ  =

y cosφ + z sinφ.

z =

 –y  sinφ + z cosφ 

z = (u1)2 – (u2)2 – (u3)2 + (u4)2 =

(u1 cosφ/2 – u3 sinφ/2)2 – (u2 cosφ/2 + u4 sinφ/2)2

(u1 sinφ/2 + u3 cosφ/2)2 + (– u2 sinφ/2 + u4 cosφ/2)2 =

u12 cos2φ/2 – 2u1u3 cosφ/2 sinφ/2 + u32 sin2φ/2 –

u22 cos2φ/2 – 2u2u4 cosφ/2 sinφ/2 – u42 sin2φ/2 –

u12 sin2φ/2 – 2u1u3 cosφ /2 sinφ/2 – u32 cos2φ/2 +

u22 sin2φ/2 – 2u2u4 cosφ/2 sinφ/2 + u42 cos2φ/2 =

u12 (cos2φ/2 – sin2φ/2) – u22 (cos2φ/2 – sin2φ/2)–

u32 (cos2φ/2 – sin2φ/2) + u42 (cos2φ/2 – sin2φ/2) –

2u1u3 ∙ 2cosφ/2 sinφ/2 – 2u2u4 ∙ 2cosφ /2 sinφ/2 =

(u12 u22 u32 + u42) ∙ cosφ – 2(u1u3 + u2u4) ∙ sinφ   =

y sinφ + z cosφ

r = r

r = (u1)2 + (u2)2 + (u3)2 + (u4)2 =

(u1 cosφ/2 – u3 sinφ/2)2 + (u2 cosφ /2 + u4 sinφ/2)2 +

(u1 sinφ/2 + u3 cosφ/2)2 + (– u2 sinφ /2 + u4 cosφ/2)2 =

u12 cos2φ/2 – 2u1u3 cosφ/2 sinφ/2 + u32 sin2φ/2 +

u22 cos2φ/2 + 2u2u4 cosφ/2 sinφ/2 + u42 sin2φ/2 +

u12 sin2φ/2 + 2u1u3 cosφ/2 sinφ/2 + u32 cos2φ/2 +  

u22 sin2φ/2 – 2u2u4 cosφ/2 sinφ/2 + u42 cos2φ/2 =

u12 (cos2φ/2 + sin2φ/2) + u22 (cos2φ/2 + sin2φ/2) +

u32 (cos2φ/2 + sin2φ/2) + u42 (cos2φ/2 + sin2φ/2) =

(u12 + u22 + u32 + u42) = r 

Итак, получилось преобразование:

x′ = x

y′ = y cosφ + z sinφ,

z ′ = –y sinφ + z cosφ.

И, кроме того, r = r.

Соответствующая матрица имеет вид:

Это значит, что поворот в параметрическом пространстве, изображаемый матрицей PX(φ/2) порождает поворот в трёхмерном пространстве вокруг оси Ох по часовой стрелке (в отрицательном направлении), изображаемый матрицей RX(– φ ).

А теперь самостоятельно выполните вычисления и убедитесь, что линейные преобразования, задаваемые матричными соотношениями

и

тождественны.

Отсюда понятно, что громоздкие соотношения, описывающие повороты в четырёхмерном параметрическом пространстве можно заменить более компактными эквивалентными соотношениями для двумерного комплексного евклидового пространства.

Теперь примем, что  a11 = a 22 =  cosφ/2,  b12 = b 21 =  sinφ /2,   a 12 = a 21 = b 11 = b 22 = 0, и получим две эквивалентные матрицы PX(φ/2) и UX(φ/2), где

.

Они эквивалентны в том смысле, что задают одно и то же линейное преобразование в исходном трёхмерном пространстве.

Следовательно,

1. Матрица UX(φ/2) = Е cosφ/2 + iσx sinφ/2,

где Е — единичная матрица, а

описывает поворот в трёхмерном пространстве вокруг оси Ох по часовой стрелке (в отрицательном направлении), изображаемый матрицей RX(–φ).

Аналогично:

2. Матрица UY(φ/2) = Е cosφ/2 + iσy sinφ/2,

где

описывает поворот в трёхмерном пространстве вокруг оси Оy по часовой стрелке (в отрицательном направлении), изображаемый матрицей RY(–φ).

3. Матрица UZ(φ/2) = Е cosφ/2 + i σz sinφ/2,

где

описывает поворот в трёхмерном пространстве вокруг оси Оz по часовой стрелке (в отрицательном направлении), изображаемый матрицей RZ(–φ ).

σx , σy , σz  называются матрицами Паули.

4. Матрица U0(φ/2) = Е cosφ/2 + iσ0 sinφ/2 = Е еiφ/2,

где Е — единичная матрица, а σ0 — матрица, в точности совпадающая с единичной матрицей, не описывает каких-либо поворотов в трёхмерном пространстве. Преобразование, соответствующее матрице U0(φ/2) является тождественным: x′ = x, y′ = y, z′ = z  .

Доказательства утверждений 2, 3 и 4 проводится точно так же, как выше это сделано для утверждения 1. Выполните соответствующие вычисления самостоятельно, предварительно восстановив, исходя из матриц UY(φ/2), UZ(φ/2) и U0(φ/2), соответствующие им матрицы, действующие в четырёхмерном параметрическом пространстве.

Теперь рассмотрим свойства матриц поворота UX(φ/2), UY(φ/2), UZ(φ/2) на примере матрицы UX(φ/2).

Непосредственно убеждаемся, что определитель матрицы UX(φ/2) равен единице.

Квадратная матрица, у которой определитель равен единице, называется унимодулрной.

Матрицы UX(φ/2) и UX(–φ/2) взаимно являются обратными, т.к. описывают повороты в вокруг одной и то же оси, на один и тот же угол, но в противоположных направлениях, UX(–φ/2) = UX–1(φ/2).

С другой стороны, непосредственно убеждаемся, что UX(φ/2)= (UXТ(φ/2))* = UX(–φ/2) = UX–1(φ/2), т.е. эрмитово сопряженная матрица совпадает с обратной.

Матрицы, у которых обратная матрица равна  эрмитово сопряжённой, называется унитарными.

Итак, UX(φ/2) является унимодулярной и унитарной. Непосредственно проверяется, что матрицы UY(–φ/2) и UZ(–φ/2) тоже унимодулярны и унитарны.

 

Назад    Вперёд

©   А. А. Дмитриевский.