Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».
Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.
11. Чем похожи и чем различаются комплексные числа и кватернионы.
Операции умножения кватерниона на число, сложения и вычитания кватернионов выполняются точно так же, как соответствующие операции с комплексными числами. Единственное различие, — вместо одной комплексной единицы есть три.
Так же как комплексные числа, кватернионы допускают сопряжение; а именно, кватернионы
q = a + bi + cj + dk и q* = a – bi – cj – dk
взаимно сопряжены.
r2 = q q* = q*q = a2 + b2 + c2 + d,
где r — называется модулем кватерниона.
Очевидно, деление возможно на любой кватернион, у которого модуль не равен нулю.
А далее аналогия заканчивается: произведение кватернионов зависит, в общем случае, от их порядка: q1 q2 ≠ q2 q1 .
Поэтому следует различать левое и правое частное:
хл = (q1/q2)л = q2*q1/q2*q2 = q2*q1/r22,
хпр = (q1/q2)пр = q1q2*/q2*q2 = q1q2*/r22.
Наконец, при сопряжении произведения кватернионов необходимо следить за порядком произведения сомножителей:
(q1q2)* = q2*q1* ≠ q1*q2*.
Т.е. в результате сопряжения сомножители-кватернионы оказываются не только сопряжёнными, но, так же как и матрицы, меняют порядок следования на обратный. Это не удивляет, потому что кватернионы, по сути, те же матрицы.
Очевидно, что любой кватернион q можно записать в следующем виде: q = а + p, где а —действительная (скалярная) часть кватерниона, а p — чисто мнимый (векторный) кватернион, квадрат которого меньше или равен нулю:
p2 = (bi + cj + dk)2 = – (b2 + c2 + d2) ≤ 0.
12. Описание направлений и поворотов с помощью кватернионов.
Чисто мнимые (векторные) кватернионы
p = xi + yj + zk
с единичным модулем, r = 1, задают направления точно так же, как декартовы координаты x, y, z.
Кватернион p можно представить в матричном виде p = ixσx + iyσy + izσz = iP, здесь
а через i везде, где встречаются матричные выражения, обозначена обычная мнимая единица, входящая в состав комплексных чисел.
Внимание! Здесь пересечение обозначений. Там, где матрицы i — обычная, комплексная мнимая единица. Там, где кватернионы i — кватернионная мнимая единица. Если быть внимательным, то пересечение обозначений не приводит к ошибкам, зато сохраняются удобства, — можно пользоваться общепринятыми обозначениями.
Оказывается, что матрица iP, и, следовательно, матрица P преобразуются при поворотах трёхмерного пространства точно так же, как матрица проектирования, а именно:
P′ = UPU†,
Соответствующее выражение для кватерниона p принимает следующий вид:
p′ = upu*,
здесь u — один из кватернионов:
ux(φ/2) = cosφ/2 + i sinφ/2 ,
uy(φ/2) = cosφ/2 + j sinφ/2 ,
uz(φ/2) = cosφ/2 + k sinφ/2 ,
которые получились преобразованием матриц UХ(φ/2), UY(φ/2) и UZ(φ/2), в кватернионы.
Убедимся, что это действительно так, для чего произведём вычисления согласно выражению p′ = ux(φ/2)pux*(φ/2) непосредственно:
p′ = x′i + y′j + z′k =
(cosφ/2 + i sinφ/2)(xi + yj + zk) (cosφ/2 – i sinφ/2) =
xi(cosφ/2 + i sinφ/2)(cosφ/2 – i sinφ/2)+
y(cosφ/2 + i sinφ/2)j(cosφ/2 – i sinφ/2) +
z(cosφ/2 + i sinφ/2)k(cosφ/2 – i sinφ/2) =
xi(cos2φ/2 + sin2φ/2) +
y(j cosφ/2 + k sinφ/2)(cosφ/2 – i sinφ/2) +
z(k cosφ/2 – j sinφ/2) (cosφ/2 – i sinφ/2) =
xi + yj cos2φ/2 + yk sinφ/2cosφ/2 +
yk sinφ/2cosφ/2 – yj sin2φ/2 + zk cos2φ/2 –
zj sinφ/2 cosφ/2 – zj sinφ/2 cosφ/2 – zk sin2φ/2 =
xi + yj(cos2φ/2 – sin2φ/2) + 2yk sinφ/2cosφ/2 +
zk(cos2φ/2 – sin 2φ/2) – 2zj sinφ/2 cosφ/2 =
xi + (ycosφ – zsinφ)j + (ysinφ + zcosφ)k.
Отсюда следует преобразование:
x′ = x ,
y′ = y cosφ – z sinφ,
z′ = y sinφ + z cosφ.
с матрицей RX(φ).
Это значит, что преобразование p′ = ux(φ/2)pux*(φ/2) изображает поворот в трёхмерном пространстве вокруг оси Ох против часовой стрелки, изображаемый матрицей RX(φ).
Аналогичные результаты получаются для двух других преобразований: преобразованию p′ = uy(φ/2)puy*(φ/2) соответствует матрица RY(φ), а преобразованию p′ = uz(φ/2)puz*(φ/2) соответствует матрица RZ(φ).
Последние комментарии