Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».
Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.
В дальнейшем изложение нередко будет вестись, ради наглядности, для частного случая, а затем читатель сможет сам, если пожелает, выполнить очевидные обобщения, сводящиеся лишь переформулировке изложения.
В настоящем сообщении рассматривается взаимосвязь между линейными преобразованиями и матрицами.
Рассмотрим линейное преобразование:
Оно переводит пару чисел ( ,
) в другую пару чисел (
,
).
Будем писать коротко: ( ,
)
( ,
) здесь цифра 1 в скобках указывает на порядковый номер формулы.
В частности, (1, 1) (–1, 3); (–1, 2) (–5, 0) и т.п.
А теперь рассмотрим ещё одно преобразование:
Это преобразование таково: ( ,
)
(,
).
Поэтому (1, 1)(–1, 3), (–1, 2)(–5, 0) и т. д.
Отсюда понятно, что линейные преобразования (1) и (2) в точности одинаковы. — И действительно, всё равно как обозначать одинаковые, по сути, переменные.
В связи с этим при оперировании линейными преобразованиями возникает естественное желание освободиться от всего случайного, несущественного и оставить только самое главное.
А главное здесь — коэффициенты при переменных: 1, –1, 2, 1. Именно они определяют формулы, по которым одной паре чисел ставится в соответствие другая пара чисел.
Будем записывать эти цифры в виде таблицы так, чтобы можно было легко восстановить исходное линейное преобразование:
Эта таблица и есть квадратная матрица второго порядка, т.е. размерности 2х2, определяющая одинаковые линейные преобразования (1) и (2).
Числа внутри матрицы называются матричными элементами.
Вообще–то матричные элементы могут быть не только цифрами, но и буквами, и любыми математическими выражениями.
Теперь рассмотрим пример. Запишем матрицу линейного преобразования:
Можно подумать, что соответствующая матрица такова:
Но нет, нет! Прежде чем записывать матрицу, нужно перенумеровать, или хотя бы упорядочить переменные. Пустых мест в матрице вообще не должно быть, вместо пустого места должен быть нуль.
Итак, пусть ,
,
будут первым, вторым и третьим аргументами соответственно, а
и
будут первой и второй функцией, тогда линейное преобразование можно записать в следующем виде:
Соответствующая матрица принимает вид:
В этой матрице есть две одинаковые «–1» или «1» . Но любое из этих четырёх чисел является отдельным, независимым от других, матричным элементом.
Каждый матричный элемент характеризуется своим номером строки и столбца. Причём номер строки матричного элемента указывает на номер функции в записи однородного линейного преобразования, а номер столбца указывает на номер аргумента, при котором матричный элемент является коэффициентом.
Согласно этому правилу каждой матрице соответствует одно и только одно вполне определённое однородное линейное преобразование и, наоборот, каждому однородному линейному преобразованию соответствует одна и только одна вполне определённая матрица.
Итак, пусть дано однородное линейное преобразование, содержащее аргументов,
функций и
,
,
коэффициентов при аргументах:
Тогда этому преобразованию можно поставить в соответствие прямоугольную матрицу размерности :
И, наоборот, по матрице можно восстановить соответствующее ей однородное линейное преобразование.
Матрица называется квадратной матрицей –го порядка, если число столбцов равно числу строк и равно числу
.
Наконец, иногда полезно считать, что число — это не просто число, а квадратная матрица первого порядка.
Последние комментарии