Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».
Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.
10. Обобщение на случай дискретного бесконечного спектра.
Если физическая величина принимает бесконечное число значений, то размерность гильбертова пространства тоже должна быть бесконечной. И тогда во весь рост встают проблемы сходимости, — в частности, суммирование в формулах для дискретного спектра выполняется от 1 до ∞.
Кроме того, требуется, чтобы любой вектор состояния |b› можно было нормировать на единицу, а для этого норма вектора должна быть конечной:
Состояния квантово–механических систем могут описывать лишь те векторы, норма которых конечна.
11. Обобщение на случай непрерывного бесконечного спектра.
Случай непрерывного спектра отличается от случая дискретного бесконечного спектра тем, что бесконечное суммирование заменяется интегрированием.
Например, когда индекс k из выражения
принимает непрерывный спектр значений, bk является не числовой последовательностью, а функцией. Обозначим аргумент этой функции через х, и после замены суммирования интегрированием, получаем:
Теперь выясним, какова связь между b(х) и вектором |b›. С этой целью перепишем выражения
‹еi|еj› = δij, i, j = 1, 2 … n,
для случая непрерывного спектра, заменив индексы i и j на x′ и x соответственно, а также суммирование интегрированием:
,
.
Поскольку символ Кронекера равен 0 при х′ ≠ х и 1 при х′ = х, то все слагаемые в соответствующей интегральной сумме оказываются равными нулю, кроме одного слагаемого в окрестности точки х = х′:
‹ех′|b› ≈ b(х′) · 1 · Δх.
Это выражение стремится к нулю при Δх → 0. Получается бессмыслица: все скалярные произведения равны нулю ‹ех′|b› = 0, отсюда |b› = 0.
Спасти ситуацию можно введением δ-функции Дирака, которая обладает следующими свойствами:
Т. е. δ–функция отличается от символа Кронекера тем, что при х – х′ = 0 она равна не единице, а бесконечности.
Перенесём интеграл в последнем равенстве в правую часть и запишем его как интегральную сумму:
Отсюда понятно, что функцию δ(х – х′) следует трактовать как переменную, которая в окрестности х = х′ стремится к бесконечности так, чтобы произведение δ · Δх → 1.
Поэтому
.
Опуская штрихи, окончательно получаем:
b(х) = ‹ех|b›.
Итак, записав условие ортонормированности базисных векторов через δ–функцию Дирака, а не через символ Кронекера,
‹ех′|ех› = δ(х – х′),
можно обобщить формализм векторов состояния на случай непрерывного спектра.
Дельта–функция обладает свойствами, которые исключают возможность её изучения средствами классического математического анализа. Поэтому сначала математики высказывали резкие критические замечания в адрес дираковской формулировки квантовой механики.
Благодаря трудам ленинградских математиков Η. Μ. Гюнтера, С. Л. Соболева, а также французского математика Л. Шварца математическое сообщество признало теорию обобщённых функций. Оказывается, δ–функция является типичной обобщённой функцией.
Последние комментарии