Спин ½ и дальнейшие обобщения. VIII

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

Назад

14. Оператор и матрица плотности.

Оператором плотности называется проектор

= |d›‹d|,

при условии, что вектор состояния |d› нормирован на единицу, ‹d|d› = 1.

Отсюда понятно, что операторы плотности, точно так же как векторы состояний пригодны для полноценного описания квантово–механических систем.

Очевидно, что

 ² =(|d›‹d|)·(|d›‹d|)=|d›‹d|d›‹d| = |d›·1·‹d| = .

В отличие от векторов состояний, которые определёны с точностью до произвольного комплексного множителя с единичным модулем, операторы плотности не обладает аналогичным произволом, т.к. если |d′› = е^iφ|d›, то ‹d′| = е^–iφ‹d| и  = .

Теперь, чтобы наглядно проиллюстрировать вычисления, снова вернёмся к двумерному гильбертову пространству.

Соответствующая матрица в некотором ортонормированном базисе |е₁›, |е₂› такова:

D _ij = ‹е_i||е_j› = ‹е_i|d›‹d|е_j› = d_i · (d_j)*,      i, j  = 1, 2.

Естественно, что матрица D _ij называется матрицей плотности.

Определение.

SpD — след матрицы D, иначе говоря, сумма диагональных элементов, матрицы D. Обозначение возникло от немецкого Spur — след. Иногда применяется обозначение TrD, происходящее от английского Trace — след.

Вычислим SpD в некотором полном ортонормированном базисе |е₁›, |е₂›:

SpD = D₁₁ + D₂₂ = ‹е₁|d›‹d|е₁› + ‹е₂|d›‹d|е₂› =

‹d|е₁›‹е₁|d› + ‹d|е₂›‹е₂|d› =‹d|(|е₁›‹е₁| + |е₂›‹е₂|)|d› = ‹d||d› = ‹d|d› = 1.

Итак, условие нормировки вектора состояния |d› на единицу, ‹d|d› = 1, эквивалентно равенству:

SpD =1.

Выразим теперь среднее значение физической величины Q при условии, что квантово–механическая система находится в состоянии |d›.

Как известно,

Q_ср = ‹d||d›.

Поэтому

Q_ср = ‹d|(|е₁›‹е₁| + |е₂›‹е₂|)(|е₁›‹е₁| + |е₂›‹е₂|)|d›

В этой сумме четыре слагаемых:

‹d|е_i›‹е_i||е_j›‹е_j|d› = ‹е_i ||е_j›‹е_j|d›‹d|е_i › =

‹е_i||е_j›‹е_j||е_i› = Q _ij · D _ji = D _ji · Q_ij ,   i, j  = 1, 2.

Поэтому

Аналогично Q_ср = Sp(DQ), т.е.

Q_ср = Sp(QD) = Sp(DQ).

Вычислим теперь среднее значение оператора плотности  = |b›‹b| при условии, что квантово–механическая система находится в состоянии |d›:

В_ср = ‹d||d› = Sp(ВD) = Sp(DВ).

С другой стороны, известно, что

В_ср = ‹d||d› =  ‹d|b›‹b|d› = |‹b|d›|² = Р.

Отсюда

Р = Sp(ВD) = Sp(DВ).

Здесь — Р вероятность того, что физическая величина В примет значение b, при условии, что физическая величина D имеет вполне определённое значение d.

Итак, матрица плотности позволяет вычислять вероятности перехода из одного состояния в другое и средние значения физических величин. Поэтому матрицы плотности, также  как и векторы состояний, пригодны для полноценного описания квантово–механических систем.

Оказывается, возможности применения матриц плотности даже шире, чем у векторов состояния, — матрицы плотности применимы для описания статистических ансамблей квантово–механических систем.

Наконец, для системы со спином ½ , поляризованной в направлении вектора d с направляющими косинусами n = sinθ cosφ, m = sinθ sinφ, k = cosθ, матрица плотности имеет вид:

Назад

©   А. А. Дмитриевский.