Среди работ Лобачевского, не относящихся к геометрии, имеется одна весьма интересная, близкая по своему содержанию к общей астрономической проблематике. Название ее — «О вероятности средних результатов, полученных из повторных наблюдений». Статья была напечатана в 1842 г. в 42-м томе «Журнала Крелля», рядом со статьями корифеев математики той эпохи: Дирихле, Якоби, Штейнера. В ней рассматривается вопрос о том, с какой вероятностью можно ожидать, что при суммировании нескольких величин, из которых каждая отягчена случайной погрешностью, в сумме произойдет та или иная компенсация этих погрешностей1. Таким   образом,   Лобачевский   решает здесь классическую задачу о вероятности отклонения суммы случайных переменных от ее среднего значения. Лаплас посвятил этой проблеме важнейшие части своей «Аналитической теории вероятностей» (1812). Но он делал здесь переход к случаю бесконечного числа наблюдений, откуда и получал закон, впоследствии названный «законом нормального распределения». Лобачевский так не поступает: он выводит формулу для вероятности данного результирующего отклонения для суммы конечного числа случайных переменных.

«Лаплас, — говорит он, — в своей «Аналитической теории вероятностей» занимался в сущности только случаем очень большого числа наблюдений. При помощи чрезвычайно сложных соображений и пользуясь всегда определенными интегралами, он пришел к выражениям, вполне совпадающим с теми, которые мы здесь только что вывели»2. Свою формулу для любого конечного числа наблюдений Лобачевский иллюстрирует таблицей для случая, когда это число n = 10; его численные результаты представлены во втором столбце следующей таблицы:

 

Р10(х)

х

Формула

Лобачевского

Формула

Лапласа

1,0

1,000

1,000

0,9

1,000

1,000

0,8

1,000

1,000

0,7

1,000

1,000

0,6

0,999    

0,999    

0,5

0,995

0,994

0,4

0,973

0,971

0,3

0,899

0,900

0,2

0,722

0,726

0,1

0,411

0,416

Значения Р10(х) представляют вероятность, что погрешность среднего из 10 наблюдений не выйдет за пределы ± x если наибольшая погрешность каждого наблюдения заключена в пределах ±1. Отсюда Лобачевский заключает, что вероятность компенсации погрешностей не мала; например, «можно поставить 18 против 7, — говорит он, — что ошибка в среднем не превысит одной пятой той наибольшей ошибки, которой может сопровождаться каждое отдельное наблюдение»3.

К этим теоретическим исследованиям Лобачевский добавил в «Новых началах» (§ 165) несколько замечаний практического характера; из них вытекает, что, говоря о погрешностях наблюдений, он имел в виду прежде всего наблюдения астрономические (он останавливается здесь на «повторительных кругах» и на выгоде их «для орудий малого размера»). Не была ли поэтому рассматриваемая нами работа только частью некоего более обширного замысла: назначить вероятные ошибки тех определений и тех выводов, которыми он пользовался в работе 1829 г. в своих построениях космической геометрии? Или, быть может, Лобачевский только вновь возвращался здесь к тем задачам повседневной практики астрономических наблюдений и их обработки, к которым он был столь близок в оставшиеся уже далеко позади годы преподавания астрономии?

  • 1. Статья Лобачевского помещена в «CrelIes Journal», 24 (1842). стр. 164 — 170. Происхождение ее таково. В работе «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» имеются две обширные главы, XII и XIII (казанское издание Трудов, 1883, т. 1, стр. 370 — 480) под названиями: «Решение прямолинейных прямоугольных треугольников» и «Решение сферических прямоугольных треугольников». Здесь Лобачевский на множестве примеров, сопровождаемых подробными численными выкладками, изучает вопрос о точности определения элементов треугольников в зависимости от условий задания других элементов. Всего рассмотрено более 40 различных случаев; при этом предполагается, что вычисления производятся с логарифмами и что логарифмы имеют погрешность в ½ единицы последнего (седьмого) знака. Но в одном месте этого изложения (стр. 428) Лобачевский как бы прерывает его и говорит: «Назначая точность вычисления, мы предполагали все случаи неблагоприятными, тогда как ошибки в их соединении могут быть одна другой противными, следовательно частью по крайней мере уничтожаться...» Дальнейшие страницы этой работы (стр. 428 — 438) и посвящены вычислению вероятности той или иной компенсации этих случайных погрешностей. Именно эти страницы из работы «Новые начала геометрии», с некоторыми дополнениями и вариантами, перешли в статью «Вероятность средних результатов». Заметим, что обе главы о треугольниках были напечатаны в 1838 г. в «Ученых записках Казанского университета»; тогда же Лобачевский послал Креллю, члену Берлинской академии наук для напечатания в издаваемом им математическом журнале и ту статью, которая появилась лишь четыре года спустя на страницах этого журнала (см. Л. Б. Модзалевский, ук. соч., стр. 498). Насколько нам известно, эта статья никем еще не была детально комментирована.
  • 2. «Crelles Journal». Bd. 24, 1842, S. 169.
  • 3. Действительно, P10 (x) = 0,72 при х = 0,2; поэтому вероятность отклонения, не превышающего 0,2, относится к вероятности большего отклонения, как 0,72 и 0,28 или как 18 к 7. Заметим, что Лобачевский дает свою таблицу с точностью до пяти знаков после запятой; против х = 0,4 у него стоит 0,96179, тогда как правильное число есть 0,97295. В третьем столбце таблицы мы приводим те же вероятности, вычисленные посредством интеграла Лапласа, считая при этом сумму десяти слагаемых случайной переменной, подчиненной по вероятности нормальному зσакону, со средним значением, равным нулю, с дисперсией σ2 = 10/3 (см. книгу Н. И. Идельсон. «Способ наименьших квадратов», 1947, стр. 252). Поэтому нормированное уклонение вычисляется по формуле t = k √3/10 = 0,5477k (где k = 10, 9, ... 2, 1). Найденное по этому аргументу значение интеграла Лапласа нужно удвоить, чтобы получить искомую вероятность. Результаты, найденные по формуле Лобачевского и посредством интеграла Лапласа, отличаются не очень значительно, как видно из приведенной в тексте таблицы.

Добавить комментарий

Plain text

  • HTML-теги не обрабатываются и показываются как обычный текст
  • Адреса страниц и электронной почты автоматически преобразуются в ссылки.
  • Строки и параграфы переносятся автоматически.
CAPTCHA
Этот вопрос задается для того, чтобы выяснить, являетесь ли Вы человеком или представляете из себя автоматическую спам-рассылку.