Вы здесь

Описание направлений и поворотов в трёхмерном пространстве. I

 

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

 

1. Описание на основе декартовых координат.

Чтобы задать направление в трёхмерном пространстве, достаточно задать декартовы координаты x, y, z какой-нибудь точки, не совпадающей с началом координат.

Луч, исходящий из начала координат и проходящий через эту точку, определит соответствующее направление.

Но чаще всего направление задаётся вектором единичной длины с компонентами (x/r,  y/r,  z/r), где

Теперь о поворотах.

Сразу определимся, что будем применять правую систему декартовых координат, т.е. такую, что положительное направление оси Ox совпадёт с положительным направлением оси Oy, если ось Ox повернуть на 90° против часовой стрелки, причём наблюдать такой поворот следует со стороны положительного направления оси Oz.

Тогда линейное преобразование

x′ = xcosφy sinφ,

y′ = xsinφ + ycosφ,

z′ = z.

будет описывать поворот любой плоскости, перпендикулярной оси Oz вокруг этой оси в положительном направлении, т.е. против часовой стрелки:

Соответствующая матрица, описывающая поворот имеет  вид:

.

Аналогично запишем поворот вокруг оси Oy:

x′ = x cosφz  sinφ,

y′ = y ,

z′ = xsinφ + zcosφ.

Это преобразование описывает поворот в направлении от оси Ox к оси Oz, который происходит по часовой стрелке, если смотреть с положительного направления оси Oy.

Как известно, в качестве положительного направления поворота принимается поворот, происходящий против часовой стрелки. Поэтому заменим φ на –φ  и, приняв во внимание чётность косинуса и нечётность синуса, получим:

x′ = x cosφ + z sinφ,

y′ = y,

z′ = xsinφ + z cosφ.

Тогда соответствующая матрица принимает вид:

Наконец, вращение вокруг оси Ox в положительном направлении описывается линейным преобразованием:

x′ = x ,

y′ = y cosφ – z sinφ,

z′ =  ysinφ zcosφ.

Соответствующая матрица имеет вид:.

2. Сферические координаты.

Они связаны с декартовыми координатами соотношениями:

 

x = r sinθ cosφ,

y = r sinθ sinφ,

z = r  cosθ.

 

Здесь   — расстояние от точки М до начала координат, θ  — полярный угол, который изменяется в пределах от 0 до π, φ — азимутальный угол, который изменяется в пределах от 0 до 2π.

Аналогия с географическими координатами: φ — это, по сути, долгота, а θ  — угловое полярное расстояние, которое в отличие от широты отсчитывается не от экватора, а от Северного полюса Земли.

Итак, любые направления, исходящие из начала координат, определяются в сферической системе координат двумя углами, — θ и φ.

3. Переход к половинным углам. KS–преобразование.

Переход к половинным углам выполняется  в соответствии с равенствами:

cosα = cos2α/2  – sin2α/2,

sinα = 2sinα /2cosα /2.

Применим эти две формулы в подходящих обозначениях к выражениям для сферических координат:

x = r sinθ cosφ = r 2 sinθ/2  cosθ /2 (cos2φ/2 – sin2φ/2) =

= 2r(cos2φ/2 sinθ/2  cosθ/2 – sin2φ/2 sinθ/2  cosθ /2),

y = r  sinθ cosφ = 4r sinθ/2  cosθ /2 sinφ /2  cosφ /2 ,

z = r cosθ = r  (cos2θ/2 – sin2θ/2) (cos2φ/2 + sin2φ/2) =

= r (cos2θ/2cos2φ/2 + cos2θ/2 sin2φ/2 – sin2θ/2cos2φ/2 – sin2θ/2 sin2φ/2).

Пусть

,

тогда

Это преобразование, называемое в небесной механике KS–преобразованием (преобразованием Кустаанхеймо-Штифеля), по-видимому, впервые было получено Хопфом в 1931 г.

Оно осуществляет переход от трёхмерного пространства с координатами точек x, y, z к четырёхмерному пространству, называемому параметрическим, с координатами точек .

(См. Штифель Е., Шейфеле. Г. Линейная и регулярная небесная механика. — М.: Наука, 1975, 304 с.).

Продолжение.

©   А.А.Дмитриевский.