Вы здесь

Квантовомеханические векторы и операторы в гильбертовом пространстве. IV

 

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

 

Назад   

11. Представление эрмитового оператора в его собственном базисе.

Пусть дан некоторый ортонормированный базис  ‹еij› = δij,     i , j  = 1, 2.

Построим с помощью этого базиса эрмитов оператор:

 

  = λ11›‹е1| + λ22›‹е2| = .

 

Можно говорить, что ортонормированный базис |е1›, |е2› является собственным базисом оператора .

Оказывается, что все недиагональные матричные элементы эрмитового оператора в его собственном базисе равны нулю, а диагональные — равны собственным значениям.

В самом деле

 

‹е1|1› = ‹е111›‹е1| + λ22›‹е2|)е1› = λ1‹е11›‹е11› + λ2‹е12›‹е21› = λ1 ·1 · 1 + λ2 · 0 · 0 = λ1.

 

Аналогично

 

‹е1|2› = ‹е2|1  = 0,

‹е2|2› = λ2 .

 

Т.е. матрица эрмитового оператора, представленного в его собственном базисе, диагональна:

 

.

 

12. О том, как называются представления.

Обычно, решая какую-то физическую задачу, мы задаёмся некоторой системой координат и все необходимые физические величины записываем в этой системе координат.

Аналогично, решая задачи, сформулированные в терминах гильбертова пространства, мы задаёмся тем или иным ортонормированным базисом, а затем все векторы и операторы представляем в этом базисе, т.е. мы выбираем соответствующее представление.

Таким образом, выбор представления или, иначе говоря, выбор ортонормированного базиса в гильбертовом пространстве аналогичен выбору системы координат при решении школьных физических задач.

Представления часто получают собственные названия по именам тех эрмитовых операторов, которые в данном представлении диагональны.

Например, обозначим как следующий эрмитов оператор:

 

 = |е1›‹е1| – |е2›‹е2|,

 

здесь  |е1› и |е2› — векторы некоторого ортонормированного базиса.

Соответствующая матрица, — одна из σ-матриц Паули, диагональна:

 

.

 

Отсюда понятно, почему оператор назван именно , а не иначе.

И если любые векторы и операторы изображаются в ортонормированном базисе |е1›, |е2›, то говорят о –представлении.

Ещё пример. Пусть даны базисные векторы:

 

|r1› = (|е1› + |е2›)/,

|r2› = (|е1› – |е2›)/.

 

Непосредственно убеждаемся, они составляют ортонормированный базис, т.е. ‹ri|rj› = δij,     i, j = 1, 2.

Вычислим матричные элементы оператора

 

 = |r1›‹r1| – |r2›‹r2| =  [(|е1› + |е2›)(‹е1| + ‹е2|) – (|е1› + |е2›)(‹е1| + ‹е2|)]/2 = |е2›‹е1| + |е1›‹е2|.

 

в σz–представлении:

 

‹е1|1› = ‹е2|2› = 0,

‹е2|1› = е1|2› = 1.

 

Соответствующая матрица совпадает с одной из двух недиагональных σ-матриц Паули:

 

.

 

Отсюда понятно, почему оператор  назван именно так, а не иначе.

Матрица оператора  в своём собственном базисе, |r1›, |r2›, диагональна и выглядит точно также, как матрица Паули σz.

И если матрицы любых векторов и операторов изображать в ортонормированном базисе |r1›, |r2›, это значит, что принято –представление.

Назад   

©   А.А.Дмитриевский.