Вы здесь

Спин ½ и дальнейшие обобщения. III

 

Приведённые ниже текст является частью книги «Первый шаг в квантовую реальность».

Чтобы скачать полный текст, пройдите по ссылке.

 

Назад    Вперёд

5. Условие одновременной измеримости двух физических величин.

Нам известно, что физическая величина изображается некоторым эрмитовым оператором, и что она  может принимать с некоторыми вероятностями те или иные значения.

И лишь в тех состояниях, которые описываются собственными векторами оператора физической величины, физическая величина принимает некоторые вполне определённые значения.

В связи с этим возникает вопрос, при каком условии две физические величины принимают определённые значения, т.е. одновременно измеримы?

Докажем утверждение:

Две физические величины могут быть одновременно измеримы тогда и только тогда, когда операторы этих физических величин коммутируют.

Пусть величины  и  одновременно измеримы, т.е. существует некоторое состояние |х›, в котором эти величины имеют некоторые определённые значения А и В соответственно. Тогда, принимая во внимание линейность операторов, получаем:

 

|х› = В|х› = В|х› = ВА|х›= АВ|х›= А|х› = А|х› =|х›.

 

Отсюда

 

 

Наоборот, пусть 

 

.

 

Запишем это равенство, например, в – представлении, где оператор  диагонален, тогда

 


 

Равенство выполняется автоматически, если А1 = А2 . При А1 ≠ А2 необходимо дополнительно потребовать, чтобы b12 = b21 = 0. 

Т.е. матрица оператора  должна быть диагональной одновременно с матрицей оператора . И тогда собственные функции оператора совпадут с собственными функциями оператора .  В состояниях, описываемых этими собственными функциями, обе физические величины имеют некоторые определённые значения.

6. Соотношения для операторов спина ½.

Все соотношения можно вычислить непосредственно. Например:

 

 = (ħ2/4) (|z +›‹z| + |z›‹z+|)(|z +›‹z| + |z›‹z+|)=

2/4) (|z +›‹z|z +›‹z| + |z +›‹z|z›‹z+| + |z›‹z+|z +›‹z| +|z›‹z+|z›‹z+|) =

2/4) (0·|z +›‹z| + 1·|z +›‹z+| +  1·|z›‹z| + 0·|z›‹z+|) =

2/4) (|z +›‹z+| + |z›‹z|) = (ħ2/4).

 

Или же можно воспользоваться соответствующими соотношениями для σ–матриц Паули. И получаем:

 

 = (ħ2/4),     = (ħ2/4).

 

Отсюда

 

 

 

Операторы , , антикоммутируют:

 

 

здесь  — нулевой оператор, который изображается в любом представлении квадратной матрицей 2х2, состоящей лишь из нулей.

Коммутационные соотношения таковы:

 

 

Обратите внимание на то, что оператор  пропорционален тождественному оператору . Поэтому его действие сводится лишь к умножению справа или слева на число .

Т.е.  коммутирует с любым оператором ,, и, вообще, с оператором

 

  = ħ/2[n + m + k] = [n + m + k].

 

Следовательно, особенности квантово–механической системы со спином ½ таковы, что одновременно могут быть измерены лишь две величины: квадрат момента импульса и проекция момента импульса на любое направление.

Одновременно измерить проекции момента импульса хотя бы на две координатные оси невозможно, поскольку ,, не коммутируют между собой.

Назад    Вперёд

©   А.А.Дмитриевский.