После того как мы выяснили, что сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского меньше 2d, справедливо возникает вопрос: является ли эта сумма постоянной величиной независимо от формы и размеров треугольника?
Ответом на этот вопрос служит следующая теорема:
Сумма углов треугольника в геометрии Лобачевского есть величина переменная и зависит от формы и размеров треугольника.
1.
Пусть дан треугольник АВС, в котором проведен произвольный отрезок ВD. разбивающий его на два треугольника АВD и ВDС (рис. 30).
2.
Будем доказывать теорему метолом от противного. Допустим, что у всех треугольников в геометрии Лобачевского
3.
Обозначим сумму углов данного треугольника S(АВС) и пронумеруем его углы (рис. 31).
4.
Из рисунка 31 видно, что
∠1 +∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 +∠6 = S(АВС) +
5.
Но ∠1 +∠2 + ∠3 + ∠4 + ∠5 +∠6 = S(АВD) + S(ВDC).
6.
Отсюда S(АВD) + S(ВDC) =
7.
Принимая во внимание сделанное допущение (сумма углов треугольника — величина постоянная), равенство S(АВD) + S(ВDC) = S(АВC) + 2d перепишется так:
8.
Решив полученное уравнение относительно γ, получим, что γ = 2d. Это противоречит условию, так как
9.
Доказали, таким образом, что в геометрии Лобачевского сумма углов треугольника является переменной величиной.
Добавить комментарий