§58

1.

Геометрия Лобачевского обладает еще более удивительными особенностями. Пусть, например, дан острый угол ВАС (рис. 32). Для каждого человека, изучавшего геометрию в школе, совершенно ясно, что перпендикуляр А₁В₁, восставленный из произвольной точки луча АС, обязательно пересечет луч АВ.

В геометрии же Лобачевского справедлива следующая теорема:

Для каждого острого угла существует единственная прямая, перпендикулярная к одной его стороне и не пересекающая другую его сторону (рис. 33).

2.

Докажем теперь такую теорему:

Если дан острый угол, то не всякая прямая, перпендикулярная к одной его стороне, пересечет другую сторону.

Доказательство теоремы проведем методом от противного. Пусть дан острый угол KON.

Допустим, что всякий перпендикуляр, восставленный в любой точке луча OK, пересекает сторону ON. Отложим на луче KO произвольный отрезок OA. Затем отложим отрезки АА₁ = OА, А₁А₂ = OА₁, А₂А₃ = OА₂ и т. д. (см. рис. 34). В соответствии с принятым допущением перпендикуляры к прямой OK, восставленные в точках A, A₁, A₂, A₃ и т. д., пересекают луч ON в точках B, B₁, B₂ ,..., B_n. (Выполните чертеж в тетради.) Тогда ∆OAB = ∆AA₁B, ∆OA₁B₁ = ∆A₁B₁A₂, ∆OA₂B₂ = ∆A₂B₂A₃, ..., ∆OA_n–1B_n–1 = ∆A_n–1B_n–1A_n. Почему? Подумайте, а затем см. указание 103.

3.

В силу свойства аддитивности дефекта треугольника имеем:

D(OBA₁) = D(OBA) + D(ABA₁) = 2 D(OBA).

Далее можно записать:

D(OB₁A₁) = D(OBA₁) + D(BB₁A₁) = 2 D(OBA) + D(BB₁A₁) > 2D(OBA).

(неравенство имеет место в связи с тем, что значение дефекта треугольника положительно).

Запишите теперь два последующих неравенства, затем см. указание 104.

4.

Теперь можно сделать вывод, что D(ОВ_nА_n) >.... Что нужно записать в правой части неравенства? Подумайте, а затем см. указание 105.

5.

Попробуйте теперь самостоятельно сделать окончательный вывод и обнаружить противоречие, а затем см. указание 106.

6.

Итак, обнаруженное противоречие показывает, что не всякий перпендикуляр, восставленный из точки, лежащей на одной стороне угла, пересекает другую сторону. В принципе можно строго доказать, что существует единственный перпендикуляр, пересекающий другую сторону угла. Доказательство этого факта опускаем.